Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBağımsız Değişkenlerin Toplamı ve Konvolüsyon (Evrişim)

Bir akıllı ev sisteminde, güvenlik kamerasının bir hareketi algıladıktan sonra veriyi işleme süresi XX milisaniye ve bu veriyi bulut sunucusuna iletme süresi YY milisaniye olarak modellenmektedir. XX ve YY birbirinden bağımsız rastgele değişkenler olup olasılık yoğunluk fonksiyonları sırasıyla aşağıdaki gibi verilmiştir:

fX(x)={4e−4x,x>00,dig˘er durumlardaf_X(x) = \begin{cases} 4e^{-4x}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}
fY(y)={e−y,y>00,dig˘er durumlardaf_Y(y) = \begin{cases} e^{-y}, & y > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, hareketin algılanmasından verinin sunucuya iletilmesinin tamamlanmasına kadar geçen toplam sürenin (Z=X+YZ = X + Y) olasılık yoğunluk fonksiyonu fZ(z)f_Z(z) (z>0z > 0 için) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 43(e−z−e−4z)\frac{4}{3} (e^{-z} - e^{-4z})Cevap
  2. B
    4e−5z4e^{-5z}
  3. C
    43e−z\frac{4}{3} e^{-z}
  4. D
    e−z−e−5ze^{-z} - e^{-5z}
  5. E
    4e−4z+e−z4e^{-4z} + e^{-z}

Cevap

Doğru yanıt 43(e−z−e−4z)\frac{4}{3} (e^{-z} - e^{-4z}) fonksiyonudur.
Doğru yanıt, bağımsız rastgele değişkenlerin toplamı için konvolüsyon integrali formülünün doğru sınırlarla ve doğru değişken dönüşümüyle entegre edilmesiyle elde edilen 43(e−z−e−4z)\frac{4}{3} (e^{-z} - e^{-4z}) fonksiyonudur. Her iki değişken de pozitif tanımlı olduğu için integralin sınırları 00'dan zz'ye alınmış, fYf_Y içerisine (z−x)(z-x) konarak matematiksel işlemler eksiksiz tamamlanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Konvolüsyon integralinin genel formülünü yazmak
fZ(z)=∫−∞∞fX(x)fY(z−x)dxf_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)f_Y(z-x)dx
Bağımsız iki rastgele değişkenin toplamının olasılık yoğunluk fonksiyonu evrişim (konvolüsyon) integrali kullanılarak bulunur.
2
İntegral sınırlarını belirlemek
x>0x > 0 ve y=z−x>0y = z - x > 0 olduğundan x<zx < z elde edilir. Bu sebeple integral sınırları 00'dan zz'ye olmalıdır.
Fonksiyonların sadece pozitif değerler için sıfırdan farklı olması entegrasyon aralığını 00 ile zz arasına kısıtlar.
3
Verilen yoğunluk fonksiyonlarını formülde yerine koymak
fZ(z)=∫0z4e−4xe−(z−x)dxf_Z(z) = \int_0^z 4e^{-4x} e^{-(z-x)} dx
Tanımlı fonksiyonlar fX(x)=4e−4xf_X(x) = 4e^{-4x} ve fY(z−x)=e−(z−x)f_Y(z-x) = e^{-(z-x)} olarak ifade edilir.
4
İntegralin içindeki üslü ifadeleri düzenlemek
fZ(z)=∫0z4e−4xe−zexdx=4e−z∫0ze−3xdxf_Z(z) = \int_0^z 4e^{-4x} e^{-z} e^x dx = 4e^{-z} \int_0^z e^{-3x} dx
İntegral xx'e göre alındığından, xx'ten bağımsız olan e−ze^{-z} terimi integralin dışına sabit çarpan olarak çıkarılabilir.
5
Belirli integrali hesaplayıp sonucu bulmak
4e−z[e−3x−3]0z=4e−z(e−3z−1−3)=43e−z(1−e−3z)=43(e−z−e−4z)4e^{-z} \left[ \frac{e^{-3x}}{-3} \right]_0^z = 4e^{-z} \left( \frac{e^{-3z} - 1}{-3} \right) = \frac{4}{3}e^{-z}(1 - e^{-3z}) = \frac{4}{3}(e^{-z} - e^{-4z})
e−3xe^{-3x} fonksiyonunun integrali alınıp aralık sınırları (00 ve zz) değerlendirilerek nihai fZ(z)f_Z(z) dağılım fonksiyonu elde edilir.

Anahtar Kavram

Bağımsız Değişkenlerin Toplamı ve Konvolüsyon (Evrişim)
Bu soruyu puanla

Konular

Bağımsız Değişkenlerin Toplamı ve Konvolüsyon (Evrişim)