Examkin

Soru

Zorluk: KolayMonoton Olabilirlik Oranı (MLR)

Türk Standartları Enstitüsü (TSE) tarafından üretilen hassas bir ölçüm cihazının hata payları (XX), ortalaması μ=0\mu = 0 ve varyansı θ>0\theta > 0 olan bir Normal dağılıma (X∼N(0,θ)X \sim N(0, \theta)) uymaktadır. Bu kitleden alınan nn birimlik bağımsız ve aynı dağılımlı bir örneklem X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n ile gösterildiğinde; θ\theta parametresi için monoton olabilirlik oranı (MLR) özelliği dikkate alındığında, olabilirlik oranının (θ1<θ2\theta_1 < \theta_2 için L(x;θ2)/L(x;θ1)L(x; \theta_2) / L(x; \theta_1)) hangi ifade cinsinden monoton artan bir fonksiyon olduğu söylenebilir?

  1. ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2Cevap
  2. B
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i
  3. C
    Xˉ\bar{X}
  4. D
    max⁡(X1,…,Xn)\max(X_1, \dots, X_n)
  5. E
    1/∑i=1nXi21 / \sum_{i=1}^n X_i^2

Cevap

Olabilirlik oranı ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2 ifadesi cinsinden monoton artan bir fonksiyondur.
Olabilirlik oranı L(θ2)/L(θ1)L(\theta_2)/L(\theta_1) hesaplandığında, üstel terimin katsayısı 12(1θ1−1θ2)\frac{1}{2}(\frac{1}{\theta_1} - \frac{1}{\theta_2}) olarak bulunur. θ1<θ2\theta_1 < \theta_2 durumunda bu katsayı pozitif bir değer aldığı için oran ∑Xi2\sum X_i^2 değeri arttıkça artış gösterir. Bu durum, dağılımın bu ifade cinsinden monoton artan bir olabilirlik oranına sahip olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik fonksiyonunu kurun.
L(θ)=(2πθ)−n/2exp⁡(−12θ∑i=1nXi2)L(\theta) = (2\pi\theta)^{-n/2} \exp\left(-\frac{1}{2\theta} \sum_{i=1}^n X_i^2\right)
Parametre ve gözlemler arasındaki matematiksel ilişkiyi belirlemek için gereklidir.
2
θ1<θ2\theta_1 < \theta_2 koşulu altında olabilirlik oranını hesaplayın.
L(θ2)L(θ1)=(θ1θ2)n/2exp⁡[12(1θ1−1θ2)∑i=1nXi2]\frac{L(\theta_2)}{L(\theta_1)} = \left(\frac{\theta_1}{\theta_2}\right)^{n/2} \exp\left[\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\theta_1} - \frac{1}{\theta_2}\right) \sum_{i=1}^n X_i^2\right]
Monotonluk özelliğini belirlemek için iki parametre değeri arasındaki oran incelenir.
3
Üstel kısımdaki katsayının işaretine göre monotonluk yönünü belirleyin.
θ1<θ2  ⟹  1θ1>1θ2  ⟹  1θ1−1θ2>0\theta_1 < \theta_2 \implies \frac{1}{\theta_1} > \frac{1}{\theta_2} \implies \frac{1}{\theta_1} - \frac{1}{\theta_2} > 0
Katsayının pozitif olması, fonksiyonun ∑Xi2\sum X_i^2 arttıkça arttığını, yani monoton artan olduğunu gösterir.

Anahtar Kavram

Normal Dağılımda Varyans için Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)
Tahmini Süre:50s
Bu soruyu puanla

Konular

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)

Bu konudan daha fazla soru