Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)
X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_n rastgele örneklemi, olasılık yoğunluk fonksiyonu
f(x;θ)={e−(x−θ),x>θ0,dig˘erf(x; \theta) = \begin{cases} e^{-(x-\theta)}, & x > \theta \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}
olan dağılımdan alınmıştır.

Lehmann-Scheffe teoremi kullanılarak θ2\theta^2 parametresi için Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?
(Burada X(1)=min⁡(X1,X2,…,Xn)X_{(1)} = \min(X_1, X_2, \ldots, X_n) ve Xˉ=1n∑i=1nXi\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i olarak tanımlanmıştır.)

  1. A
    X(1)2−1n2X_{(1)}^2 - \frac{1}{n^2}
  2. B
    (X(1)−1n)2\left( X_{(1)} - \frac{1}{n} \right)^2
  3. X(1)2−2nX(1)X_{(1)}^2 - \frac{2}{n}X_{(1)}Cevap
  4. D
    Xˉ2−2nXˉ\bar{X}^2 - \frac{2}{n}\bar{X}
  5. E
    X(1)2X_{(1)}^2

Cevap

θ2\theta^2 için Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) X(1)2−2nX(1)X_{(1)}^2 - \frac{2}{n}X_{(1)} ifadesidir.
Lehmann-Scheffe teoremine göre, tam ve yeterli bir istatistiğin yansız herhangi bir fonksiyonu, o parametre için benzersiz Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edicidir (UMVUE). Burada X(1)X_{(1)} tam ve yeterlidir. Moment özelliklerinden E[X(1)2−2nX(1)]=θ2E[X_{(1)}^2 - \frac{2}{n}X_{(1)}] = \theta^2 eşitliği sağlanır, bu nedenle doğru tahmin edici budur.

Adım Adım Çözüm

1
Yeterli ve tam istatistiği belirlemek.
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre, gösterge fonksiyonu I(x(1)>θ)I(x_{(1)} > \theta) olabilirlik fonksiyonunda yer aldığından, X(1)=min⁡(Xi)X_{(1)} = \min(X_i) tam ve yeterli istatistiktir.
Lehmann-Scheffe teoremini uygulamak için tam ve yeterli bir istatistiğe ihtiyaç vardır.
2
X(1)X_{(1)}'in olasılık dağılımını ve beklenen değerini bulmak.
X(1)X_{(1)}'in dağılımı fX(1)(t)=ne−n(t−θ), t>θf_{X_{(1)}}(t) = n e^{-n(t-\theta)}, \ t > \theta şeklindedir. Buradan E[X(1)]=θ+1nE[X_{(1)}] = \theta + \frac{1}{n} ve Var(X(1))=1n2Var(X_{(1)}) = \frac{1}{n^2} elde edilir.
Yansız bir tahmin edici oluşturmak için istatistiğin momentleri gereklidir.
3
X(1)2X_{(1)}^2'nin beklenen değerini (ikinci momenti) hesaplamak.
E[X(1)2]=Var(X(1))+(E[X(1)])2=1n2+(θ+1n)2=θ2+2θn+2n2E[X_{(1)}^2] = Var(X_{(1)}) + (E[X_{(1)}])^2 = \frac{1}{n^2} + (\theta + \frac{1}{n})^2 = \theta^2 + \frac{2\theta}{n} + \frac{2}{n^2} bulunur.
θ2\theta^2 parametresine ulaşabilmek için X(1)X_{(1)}'in karesinin beklenen değer açılımına bakılmalıdır.
4
θ2\theta^2 için yansız fonksiyonu oluşturmak.
Elde edilen denklemde θ2\theta^2 yalnız bırakıldığında θ2=E[X(1)2]−2θn−2n2\theta^2 = E[X_{(1)}^2] - \frac{2\theta}{n} - \frac{2}{n^2} olur. Denklemdeki θ\theta yerine yansız tahmin edicisi olan (X(1)−1n)(X_{(1)} - \frac{1}{n}) yazılırsa: θ2=E[X(1)2−2n(X(1)−1n)−2n2]=E[X(1)2−2nX(1)]\theta^2 = E\left[X_{(1)}^2 - \frac{2}{n}(X_{(1)} - \frac{1}{n}) - \frac{2}{n^2}\right] = E\left[X_{(1)}^2 - \frac{2}{n}X_{(1)}\right] elde edilir. Bu nedenle UMVUE X(1)2−2nX(1)X_{(1)}^2 - \frac{2}{n}X_{(1)} dir.
Lehmann-Scheffe teoremine göre, tam ve yeterli istatistiğin yansız fonksiyonu benzersiz Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edicidir (UMVUE).

Anahtar Kavram

Lehmann-Scheffe Teoremi ve Beklenen Değer Özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Tamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

Bu konudan daha fazla soru