Examkin

Soru

Zorluk: OrtaCramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı

Bir çağrı merkezinde birbirini izleyen iki müşteri çağrısı arasındaki bekleme süresi (dakika cinsinden), XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x;θ)={xθ2e−x/θ,x>00,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} \frac{x}{\theta^2} e^{-x/\theta}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Burada θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametredir. Bu dağılımdan nn birimlik rastgele bir örneklem (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) alınmıştır.

Buna göre, kitle varyansının yansız bir tahmin edicisi için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 8θ4n\frac{8\theta^4}{n}Cevap
  2. B
    2θ3n\frac{2\theta^3}{n}
  3. C
    8θ48\theta^4
  4. D
    2θ2n\frac{2\theta^2}{n}
  5. E
    θ22n\frac{\theta^2}{2n}

Cevap

Kitle varyansının yansız tahmin edicisi için Cramer-Rao alt sınırı 8θ4n\frac{8\theta^4}{n} değeridir.
Verilen dağılım parametreleri α=2\alpha=2 ve β=θ\beta=\theta olan bir Gamma dağılımıdır. Cramer-Rao alt sınırını bulmak için öncelikle tek bir gözlem için Fisher Bilgi miktarı olan I(θ)I(\theta) hesaplanır. ln⁡f(x;θ)\ln f(x; \theta)'nın türevi ∂∂θln⁡f(x;θ)=−2θ+xθ2\frac{\partial}{\partial \theta} \ln f(x; \theta) = -\frac{2}{\theta} + \frac{x}{\theta^2} olur. Bunun varyansından I(θ)=2θ2I(\theta) = \frac{2}{\theta^2} elde edilir. Soru kitle varyansı için alt sınır istemektedir. Gamma dağılımının varyansı τ(θ)=αβ2=2θ2\tau(\theta) = \alpha\beta^2 = 2\theta^2'dir. Bu fonksiyonun türevi τ′(θ)=4θ\tau'(\theta) = 4\theta olur. Genelleştirilmiş Cramer-Rao formülü olan [τ′(θ)]2n⋅I(θ)\frac{[\tau'(\theta)]^2}{n \cdot I(\theta)} uygulandığında sonuç 16θ2n⋅(2/θ2)=8θ4n\frac{16\theta^2}{n \cdot (2/\theta^2)} = \frac{8\theta^4}{n} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Tek bir gözlem için log-olabilirlik fonksiyonunun parametreye göre türevini alarak Fisher Bilgi miktarını (I(θ)I(\theta)) hesapla.
ln⁡f(x;θ)=ln⁡x−2ln⁡θ−xθ  ⟹  ∂∂θln⁡f=−2θ+xθ2\ln f(x; \theta) = \ln x - 2\ln \theta - \frac{x}{\theta} \implies \frac{\partial}{\partial \theta} \ln f = -\frac{2}{\theta} + \frac{x}{\theta^2}. Bunun varyansından veya ikinci türevin beklenen değerinin negatifinden I(θ)=2θ2I(\theta) = \frac{2}{\theta^2} elde edilir.
Cramer-Rao eşitsizliğinin paydasında yer alan örneklem Fisher bilgi miktarını (n⋅I(θ)n \cdot I(\theta)) bulmak için gereklidir.
2
Tahmin edilecek olan fonksiyonu, yani kitle varyansını (τ(θ)\tau(\theta)) parametre cinsinden ifade et.
Verilen dağılım α=2\alpha=2 ve β=θ\beta=\theta parametreli bir Gamma dağılımıdır. Bu dağılımın varyansı α⋅β2=2θ2\alpha \cdot \beta^2 = 2\theta^2 olur. Yani τ(θ)=2θ2\tau(\theta) = 2\theta^2 aranmaktadır.
Soru θ\theta'nın kendisi için değil, kitle varyansı için Cramer-Rao alt sınırını istemektedir.
3
Varyans fonksiyonunun θ\theta parametresine göre türevini (τ′(θ)\tau'(\theta)) al.
τ′(θ)=ddθ(2θ2)=4θ\tau'(\theta) = \frac{d}{d\theta}(2\theta^2) = 4\theta olarak bulunur.
Genelleştirilmiş Cramer-Rao alt sınırı formülünün pay kısmı, tahmin edilen fonksiyonun türevinin karesidir.
4
Bulunan değerleri genelleştirilmiş Cramer-Rao alt sınırı formülünde yerine koy.
CRLB=[τ′(θ)]2n⋅I(θ)=(4θ)2n⋅(2/θ2)=16θ22n/θ2=8θ4nCRLB = \frac{[\tau'(\theta)]^2}{n \cdot I(\theta)} = \frac{(4\theta)^2}{n \cdot (2/\theta^2)} = \frac{16\theta^2}{2n/\theta^2} = \frac{8\theta^4}{n} elde edilir.
Kitle varyansı için minimum varyans (alt sınır) hesaplamasını tamamlamak için gereklidir.

Anahtar Kavram

Genelleştirilmiş Cramer-Rao Alt Sınırı
Bu soruyu puanla

Konular

Cramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru