Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)
Kitle ortalaması θ\theta ve varyansı σ2<∞\sigma^2 < \infty olan bir ana kütleden nn hacimli bir rastgele örneklem (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) çekilmiştir. θ\theta parametresini tahmin etmek amacıyla önerilen

Tn=(n−1n)Xˉ+2nT_n = \left( \frac{n-1}{n} \right) \bar{X} + \frac{2}{n}

tahmin edicisi hakkında aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?
  1. A
    Hem yansız hem de tutarlı bir tahmin edicidir.
  2. B
    Yanlı bir tahmin edicidir ve tutarlı değildir.
  3. C
    Yansız bir tahmin edicidir ancak tutarlı değildir.
  4. Yanlı bir tahmin edicidir ancak tutarlıdır.Cevap
  5. E
    Sadece θ=2\theta = 2 olduğu durumda tutarlıdır.

Cevap

Önerilen tahmin edici yanlı bir tahmin edicidir ancak tutarlılık şartlarını sağladığı için tutarlıdır.
Verilen tahmin edicinin beklenen değeri θ\theta parametresine eşit değildir, bu nedenle yanlıdır. Ancak n→∞n \rightarrow \infty iken hem yan miktarı (2−θn)(\frac{2-\theta}{n}) hem de varyans sıfıra gittiği için tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) sıfıra ulaşır. Bu durum, tahmin edicinin tutarlı olduğunu kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin edicinin beklenen değerini (E[Tn]E[T_n]) hesaplamak.
E[Tn]=E[n−1nXˉ+2n]=n−1nθ+2nE[T_n] = E\left[ \frac{n-1}{n} \bar{X} + \frac{2}{n} \right] = \frac{n-1}{n} \theta + \frac{2}{n}
Yansızlık kontrolü yapmak için beklenen değerin parametreye eşit olup olmadığı incelenir.
2
Yan (bias) miktarını belirlemek.
B(Tn)=E[Tn]−θ=(n−1)θ+2−nθn=2−θnB(T_n) = E[T_n] - \theta = \frac{(n-1)\theta + 2 - n\theta}{n} = \frac{2 - \theta}{n}
Tahmin edici nn sonsuza gitmediği sürece yanlıdır (θ=2\theta = 2 durumu hariç genel olarak).
3
Tahmin edicinin varyansını hesaplamak.
Var(Tn)=(n−1n)2Var(Xˉ)=(n−1n)2σ2nVar(T_n) = \left( \frac{n-1}{n} \right)^2 Var(\bar{X}) = \left( \frac{n-1}{n} \right)^2 \frac{\sigma^2}{n}
Tutarlılık için yeter koşul olan Hata Kareler Ortalaması (MSE) hesabı için varyans gereklidir.
4
Hata Kareler Ortalamasının (MSE) limitini kontrol etmek.
lim⁡n→∞MSE(Tn)=lim⁡n→∞[Var(Tn)+B(Tn)2]=lim⁡n→∞[(n−1)2σ2n3+(2−θn)2]=0\lim_{n \to \infty} MSE(T_n) = \lim_{n \to \infty} [Var(T_n) + B(T_n)^2] = \lim_{n \to \infty} [\frac{(n-1)^2 \sigma^2}{n^3} + (\frac{2-\theta}{n})^2] = 0
Bir tahmin edicinin MSE değeri nn sonsuza giderken sıfıra yaklaşıyorsa, o tahmin edici tutarlıdır.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE) n→∞n \rightarrow \infty iken sıfıra giden bir tahmin edici, ilgili parametre için tutarlı (consistent) bir tahmin edicidir.
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

Bu konudan daha fazla soru