Examkin

Soru

Zorluk: OrtaCramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı
Bir kamu hizmet biriminde vatandaşların başvuru sonuçlanma süresi XX (dakika), θ>0\theta > 0 olmak üzere f(x;θ)=1θe−x/θ,x>0f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, \quad x > 0 olasılık yoğunluk fonksiyonu ile verilen üstel dağılıma uygundur. Bu kütleden alınan nn birimlik rastgele bir örneklem için θ2\theta^2 parametresinin herhangi bir yansız tahmin edicisinin varyansı için belirlenecek olan Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?
  1. 4θ4n\frac{4\theta^4}{n}Cevap
  2. B
    2θ4n\frac{2\theta^4}{n}
  3. C
    θ4n\frac{\theta^4}{n}
  4. D
    4θ2n\frac{4\theta^2}{n}
  5. E
    4θ44\theta^4

Cevap

Cramer-Rao alt sınırı 4θ4n\frac{4\theta^4}{n} olarak bulunur.
Doğru seçenek olan 4θ4n\frac{4\theta^4}{n} ifadesi, verilen üstel dağılımın Fisher bilgisinin 1/θ21/\theta^2 olması ve tahmin edilmek istenen θ2\theta^2 parametresinin türevinin karesinin 4θ24\theta^2 olması neticesinde, bu değerlerin Cramer-Rao formülüne doğru bir şekilde yerleştirilmesiyle elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Fisher Bilgisinin (I(θ)I(\theta)) hesaplanması.
I(θ)=1θ2I(\theta) = \frac{1}{\theta^2}
Üstel dağılım için log-olabilirlik fonksiyonunun ikinci türevinin beklenen değerinin negatifi Fisher bilgisini verir.
2
Tahmin edilen fonksiyonun (τ(θ)=θ2\tau(\theta) = \theta^2) türevinin hesaplanması.
τ′(θ)=2θ\tau'(\theta) = 2\theta
Cramer-Rao formülünde pay kısmında tahmin edilen fonksiyonun türevinin karesi yer alır.
3
Cramer-Rao alt sınırı formülünün uygulanması.
CRAS=[τ′(θ)]2nI(θ)=(2θ)2n⋅(1/θ2)=4θ2n/θ2=4θ4nCRAS = \frac{[\tau'(\theta)]^2}{n I(\theta)} = \frac{(2\theta)^2}{n \cdot (1/\theta^2)} = \frac{4\theta^2}{n/\theta^2} = \frac{4\theta^4}{n}
Belirlenen değerler formülde yerine konularak varyans için teorik alt sınır elde edilir.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao Alt Sınırı, bir yansız tahmin edicinin varyansının alabileceği en küçük değeri belirleyen teorik bir sınırdır.
Bu soruyu puanla

Konular

Cramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru