İki değişkenli (X_1 ve X_2) bir veri setinden elde edilen örneklem ortalama vektörü \bar{x… — KPSS İstatistik

İki değişkenli ( $X_1$ ve $X_2$ ) bir veri setinden elde edilen örneklem ortalama vektörü $\bar{x} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ ve varyans-kovaryans matrisi $S = \begin{bmatrix} 1 & 0{}8 \\ 0{}8 & 1 \end{bmatrix}$ olarak verilmiştir.

Bu veri setinde yer alan $P(1, 1)$ ve $Q(1, -1)$ gözlem vektörlerinin ortalama vektörüne (orijine) olan Öklid uzaklıkları sırasıyla $d_E(P)$ ve $d_E(Q)$ , Mahalanobis uzaklıkları ise $d_M(P)$ ve $d_M(Q)$ ile gösterilmektedir.

Buna göre, bu iki gözlemin uzaklık değerleri arasındaki ilişkiler aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

A
$d_E(P) < d_E(Q)$ ve $d_M(P) < d_M(Q)$
B
$d_E(P) = d_E(Q)$ ve $d_M(P) > d_M(Q)$
$d_E(P) = d_E(Q)$ ve $d_M(P) < d_M(Q)$ Cevap
D
$d_E(P) = d_E(Q)$ ve $d_M(P) = d_M(Q)$
E
$d_E(P) > d_E(Q)$ ve $d_M(P) > d_M(Q)$

Cevap

Her iki noktanın Öklid uzaklıkları eşittir (

d_E(P) = d_E(Q)

), ancak pozitif korelasyonun yönü hesaba katıldığında P noktasının Mahalanobis uzaklığı Q noktasından daha küçüktür (

d_M(P) < d_M(Q)

Öklid uzaklığı değişkenler arası korelasyonu dikkate almaz; dolayısıyla her iki noktanın orijine olan uzaklığı formüle göre

\sqrt{1^2 + (\pm 1)^2} = \sqrt{2}

olarak birbirine eşittir. Mahalanobis uzaklığı ise veri setinin varyans-kovaryans yapısını hesaba katar. Verilen

S

matrisindeki

0{}8

değeri, değişkenler arasında çok güçlü bir pozitif korelasyon olduğunu gösterir. Geometrik olarak bu durum, veri bulutunun (dağılım elipsinin)

X_1 = X_2

doğrusu boyunca uzandığı anlamına gelir.

P(1, 1)

noktası tam olarak bu yayılım yönünde (dağılımın ana ekseni üzerinde) yer aldığı için Mahalanobis uzaklığı çok küçüktür. Buna karşın

Q(1, -1)

noktası, dağılımın en dar olduğu ortogonal yönde yer alır ve varyansın çok küçük olduğu bu eksendeki sapma şiddetle cezalandırılarak istatistiksel uzaklık ciddi şekilde büyür (

d_M^2 = 10

Adım Adım Çözüm

Her iki gözlem noktasının ortalama vektörüne (orijine) olan Öklid uzaklıklarını hesaplamak.

d_E(P) = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}

d_E(Q) = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}

elde edilir. Buradan

d_E(P) = d_E(Q)

bulunur.

Öklid uzaklığı, noktalar arasındaki geometrik mesafeyi ölçer ve değişkenler arası korelasyonu (kovaryansı) dikkate almaz.

Mahalanobis uzaklığını hesaplayabilmek için varyans-kovaryans matrisinin tersini (

S^{-1}

) bulmak.

S^{-1} = \frac{1}{1 - (0{}8)^2} \begin{bmatrix} 1 & -0{}8 \\ -0{}8 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{0{}36} \begin{bmatrix} 1 & -0{}8 \\ -0{}8 & 1 \end{bmatrix}

matrisi elde edilir.

Mahalanobis uzaklığının karesel formu olan

d_M^2 = (x - \bar{x})^T S^{-1} (x - \bar{x})

eşitliği, dağılımın yapısını yansıtmak için ters matris işlemine ihtiyaç duyar.

Elde edilen

S^{-1}

matrisini kullanarak her iki nokta için karesel Mahalanobis uzaklıklarını hesaplamak.

d_M^2(P) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \frac{1}{0{}36} \begin{bmatrix} 1 & -0{}8 \\ -0{}8 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \frac{0{}4}{0{}36} \approx 1{}11

d_M^2(Q) = \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix} \frac{1}{0{}36} \begin{bmatrix} 1 & -0{}8 \\ -0{}8 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \frac{3{}6}{0{}36} = 10

olarak bulunur. Sonuç olarak

d_M(P) < d_M(Q)

olur.

Veri setinde pozitif ve yüksek bir korelasyon (

0{}8

) olduğundan dağılım

X_1 = X_2

doğrusu boyunca uzanmaktadır. Bu eksen üzerindeki

P(1, 1)

noktasının istatistiksel uzaklığı küçük çıkarken, bu dağılıma ters yönde yer alan

Q(1, -1)

noktası güçlü bir şekilde cezalandırılır.

Anahtar Kavram

Öklid ve Mahalanobis Uzaklıklarının Geometrik ile İstatistiksel Farklılıkları

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru