Examkin

Uzaklık ve Benzerlik Ölçüleri

3 soru

Soru 1Soru →

Kümeleme analizinde gözlemler veya değişkenler arasındaki benzerlik ve uzaklıkların hesaplanması aşamasında çeşitli metrikler ve katsayılar kullanılmaktadır.

Buna göre, uzaklık ve benzerlik ölçüleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Asimetrik ikili (binary) verilerin analizinde kullanılan Dice katsayısı, Jaccard katsayısına kıyasla ortak özellikleri (1-1) iki kat ağırlıklandırırken, Basit Eşleşme (SMC) katsayısında olduğu gibi ortak yokluk (0-0) durumlarını da benzerlik hesaplamasına dâhil eder.

Cevap

Dice katsayısının ortak yokluk (0-0) durumlarını benzerlik hesaplamasına dâhil ettiğini iddia eden ifade yanlıştır.
Dice katsayısının hesaplanma formülü SDice=2a2a+b+cS_{Dice} = \frac{2a}{2a + b + c} şeklindedir. Burada aa her iki gözlemde de özelliğin var olmasını (1-1), bb ve cc ise uyumsuzlukları (1-0 ve 0-1) ifade eder. Formülden de açıkça görüleceği üzere, her iki gözlemde de özelliğin bulunmaması durumunu temsil eden dd (0-0 eşleşmeleri) parametresi Dice katsayısında Jaccard katsayısında olduğu gibi tamamen dışlanmıştır. Ortak yoklukları (0-0) hesaba katan ölçü Basit Eşleşme (SMC) katsayısıdır. Bu sebeple Dice katsayısının ortak yoklukları dâhil ettiğini belirten seçenek yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
İkili (binary) veri yapılarında kullanılan 2x2 çapraz tablodaki hücrelerin anlamlarını belirle.
aa: 1-1 (ortak varlık), bb: 1-0, cc: 0-1, dd: 0-0 (ortak yokluk).
Benzerlik katsayılarının formülleri bu dört temel eşleşme durumu üzerinden inşa edilir.
2
Seçeneklerde bahsi geçen Basit Eşleşme (SMC), Jaccard ve Dice katsayılarının formüllerini ve dd (0-0) hücresine yaklaşımlarını incele.
SMC=a+da+b+c+dSMC = \frac{a+d}{a+b+c+d} (0-0'ı içerir). Jaccard=aa+b+cJaccard = \frac{a}{a+b+c} (0-0'ı dışlar). Dice=2a2a+b+cDice = \frac{2a}{2a+b+c} (0-0'ı dışlar).
Her bir katsayının simetrik veya asimetrik verilerdeki davranışı doğrudan bu formüllere dayanır.
3
Yanlış olan ifadeyi içeren seçeneği tespit et.
Dice katsayısının 1-1 eşleşmelerini iki kat ağırlıklandırdığı bilgisi doğru olsa da, ortak yoklukları (0-0) hesaba kattığı bilgisi kesinlikle yanlıştır.
Dice katsayısının formülünde ve mantığında dd değeri yer almaz.
4
Diğer seçeneklerdeki kavramların (Öklid'in varyans hassasiyeti, Mahalanobis'in özellikleri ve metrik uzay kuralları) doğruluğunu teyit et.
Öklid uzaklığı standartlaştırma gerektirir, Mahalanobis kovaryansı hesaba katar ve metrik özellikler (simetri, üçgen eşitsizliği vb.) zorunludur. Diğer ifadeler doğrudur.
Sorunun bütünlüğünü ve çeldiricilerin kavramsal tutarlılığını doğrulamak için gereklidir.

Anahtar Kavram

İkili Verilerde Benzerlik Ölçüleri ve Uzaklık Metriklerinin Özellikleri
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2Soru →

Bir e-ticaret platformu, iki müşterisinin (X ve Y) sekiz farklı ürün kategorisindeki satın alma durumlarını "1: Satın aldı", "0: Satın almadı" olarak kodlamış ve aşağıdaki ikili (binary) vektörleri elde etmiştir:

X=[1,1,1,1,0,0,0,0]X = [1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0]
Y=[1,1,1,0,1,0,0,0]Y = [1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0]

Bu iki müşteri arasındaki satın alma alışkanlığı benzerliği incelenirken, tüm durumları dikkate alan "Basit Eşleşme (Simple Matching) Katsayısı" ve her ikisinin de satın almadığı (0-0 eşleşmeleri) kategorileri dışlayan "Jaccard Benzerlik Katsayısı" ayrı ayrı hesaplanmıştır.

Buna göre, hesaplanan bu iki benzerlik katsayısı arasındaki farkın mutlak değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,150,15

Cevap

İki benzerlik katsayısı arasındaki farkın mutlak değeri 0,150,15'tir.
Verilen iki vektör incelendiğinde; her ikisinde de 1 olan özellik sayısı a=3a=3, sadece X'te 1 olan b=1b=1, sadece Y'de 1 olan c=1c=1 ve her ikisinde de 0 olan d=3d=3 olarak sayılır. Basit Eşleşme katsayısı (a+d)/p(a+d)/p formülü ile (3+3)/8=0,75(3+3)/8 = 0,75 bulunur. 0-0 durumlarını dışlayan Jaccard katsayısı ise a/(a+b+c)a/(a+b+c) formülü ile 3/5=0,603/5 = 0,60 hesaplanır. Bu iki benzerlik değeri arasındaki farkın mutlak değeri ∣0,75−0,60∣=0,15|0,75 - 0,60| = 0,15 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Vektörlerdeki eşleşme ve eşleşmeme (a, b, c, d) frekanslarını belirle.
Her ikisinde de 1 olanlar (a) = 3, yalnızca X'te 1 olanlar (b) = 1, yalnızca Y'de 1 olanlar (c) = 1, her ikisinde de 0 olanlar (d) = 3 bulunur. Toplam değişken sayısı p=8p = 8'dir.
İkili veri benzerlik katsayılarının tümü bu dört temel frekansa dayalı olarak hesaplanır.
2
Basit Eşleşme (Simple Matching) katsayısını hesapla.
SSM=a+da+b+c+d=3+38=68=0,75S_{SM} = \frac{a+d}{a+b+c+d} = \frac{3+3}{8} = \frac{6}{8} = 0,75 olarak bulunur.
Basit eşleşme katsayısı, 0-0 eşleşmeleri dahil tüm ortak durumları toplam değişken sayısına oranlar.
3
Jaccard Benzerlik katsayısını hesapla.
SJ=aa+b+c=33+1+1=35=0,60S_J = \frac{a}{a+b+c} = \frac{3}{3+1+1} = \frac{3}{5} = 0,60 olarak bulunur.
Jaccard katsayısı, özelliğin her iki gözlemde de bulunmadığı (0-0) durumları analizin dışında tutar.
4
İki katsayı arasındaki farkın mutlak değerini bul.
∣0,75−0,60∣=0,15|0,75 - 0,60| = 0,15 elde edilir.
Soruda hesaplanan iki benzerlik değerinin arasındaki mutlak fark istenmektedir.

Anahtar Kavram

İkili (Binary) Verilerde Benzerlik Ölçüleri
Soru 3Soru →

İki değişkenli (X1X_1 ve X2X_2) bir veri setinden elde edilen örneklem ortalama vektörü xˉ=[00]\bar{x} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} ve varyans-kovaryans matrisi S=[108081]S = \begin{bmatrix} 1 & 0{}8 \\ 0{}8 & 1 \end{bmatrix} olarak verilmiştir.

Bu veri setinde yer alan P(1,1)P(1, 1) ve Q(1,−1)Q(1, -1) gözlem vektörlerinin ortalama vektörüne (orijine) olan Öklid uzaklıkları sırasıyla dE(P)d_E(P) ve dE(Q)d_E(Q), Mahalanobis uzaklıkları ise dM(P)d_M(P) ve dM(Q)d_M(Q) ile gösterilmektedir.

Buna göre, bu iki gözlemin uzaklık değerleri arasındaki ilişkiler aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: dE(P)=dE(Q)d_E(P) = d_E(Q) ve dM(P)<dM(Q)d_M(P) < d_M(Q)

Cevap

Her iki noktanın Öklid uzaklıkları eşittir (dE(P)=dE(Q)d_E(P) = d_E(Q)), ancak pozitif korelasyonun yönü hesaba katıldığında P noktasının Mahalanobis uzaklığı Q noktasından daha küçüktür (dM(P)<dM(Q)d_M(P) < d_M(Q)).
Öklid uzaklığı değişkenler arası korelasyonu dikkate almaz; dolayısıyla her iki noktanın orijine olan uzaklığı formüle göre 12+(±1)2=2\sqrt{1^2 + (\pm 1)^2} = \sqrt{2} olarak birbirine eşittir. Mahalanobis uzaklığı ise veri setinin varyans-kovaryans yapısını hesaba katar. Verilen SS matrisindeki 080{}8 değeri, değişkenler arasında çok güçlü bir pozitif korelasyon olduğunu gösterir. Geometrik olarak bu durum, veri bulutunun (dağılım elipsinin) X1=X2X_1 = X_2 doğrusu boyunca uzandığı anlamına gelir. P(1,1)P(1, 1) noktası tam olarak bu yayılım yönünde (dağılımın ana ekseni üzerinde) yer aldığı için Mahalanobis uzaklığı çok küçüktür. Buna karşın Q(1,−1)Q(1, -1) noktası, dağılımın en dar olduğu ortogonal yönde yer alır ve varyansın çok küçük olduğu bu eksendeki sapma şiddetle cezalandırılarak istatistiksel uzaklık ciddi şekilde büyür (dM2=10d_M^2 = 10).

Adım Adım Çözüm

1
Her iki gözlem noktasının ortalama vektörüne (orijine) olan Öklid uzaklıklarını hesaplamak.
dE(P)=12+12=2d_E(P) = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} ve dE(Q)=12+(−1)2=2d_E(Q) = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} elde edilir. Buradan dE(P)=dE(Q)d_E(P) = d_E(Q) bulunur.
Öklid uzaklığı, noktalar arasındaki geometrik mesafeyi ölçer ve değişkenler arası korelasyonu (kovaryansı) dikkate almaz.
2
Mahalanobis uzaklığını hesaplayabilmek için varyans-kovaryans matrisinin tersini (S−1S^{-1}) bulmak.
S−1=11−(08)2[1−08−081]=1036[1−08−081]S^{-1} = \frac{1}{1 - (0{}8)^2} \begin{bmatrix} 1 & -0{}8 \\ -0{}8 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{0{}36} \begin{bmatrix} 1 & -0{}8 \\ -0{}8 & 1 \end{bmatrix} matrisi elde edilir.
Mahalanobis uzaklığının karesel formu olan dM2=(x−xˉ)TS−1(x−xˉ)d_M^2 = (x - \bar{x})^T S^{-1} (x - \bar{x}) eşitliği, dağılımın yapısını yansıtmak için ters matris işlemine ihtiyaç duyar.
3
Elde edilen S−1S^{-1} matrisini kullanarak her iki nokta için karesel Mahalanobis uzaklıklarını hesaplamak.
dM2(P)=[11]1036[1−08−081][11]=04036≈111d_M^2(P) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \frac{1}{0{}36} \begin{bmatrix} 1 & -0{}8 \\ -0{}8 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \frac{0{}4}{0{}36} \approx 1{}11 ve dM2(Q)=[1−1]1036[1−08−081][1−1]=36036=10d_M^2(Q) = \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix} \frac{1}{0{}36} \begin{bmatrix} 1 & -0{}8 \\ -0{}8 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \frac{3{}6}{0{}36} = 10 olarak bulunur. Sonuç olarak dM(P)<dM(Q)d_M(P) < d_M(Q) olur.
Veri setinde pozitif ve yüksek bir korelasyon (080{}8) olduğundan dağılım X1=X2X_1 = X_2 doğrusu boyunca uzanmaktadır. Bu eksen üzerindeki P(1,1)P(1, 1) noktasının istatistiksel uzaklığı küçük çıkarken, bu dağılıma ters yönde yer alan Q(1,−1)Q(1, -1) noktası güçlü bir şekilde cezalandırılır.

Anahtar Kavram

Öklid ve Mahalanobis Uzaklıklarının Geometrik ile İstatistiksel Farklılıkları
Uzaklık ve Benzerlik Ölçüleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik | Examkin