Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEn Çok Olabilirlik Yöntemi (Maximum Likelihood Estimation)

Bir kamu kurumunun bilgi işlem merkezine, sistemsel bir arıza nedeniyle gün içinde gelen şikayet kayıtlarının sayısı λ\lambda parametreli Poisson dağılımı ile modellenmektedir. nn günlük rastgele bir örneklem için gözlemlenen şikayet sayıları X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bağımsız ve özdeş dağılımlı rastgele değişkenlerdir.

Kurum yönetimi, herhangi bir günde sisteme hiç şikayet gelmeme olasılığının en çok olabilirlik (MLE) tahmin edicisini belirlemek istemektedir.

Buna göre, aranan tahmin edici aşağıdakilerden hangisidir?

  1. e−Xˉe^{-\bar{X}}Cevap
  2. B
    Xˉ\bar{X}
  3. C
    1n∑i=1ne−Xi\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n e^{-X_i}
  4. D
    e−∑i=1nXie^{-\sum_{i=1}^n X_i}
  5. E
    e−1/Xˉe^{-1/\bar{X}}

Cevap

Aranan olasılığın en çok olabilirlik (MLE) tahmin edicisi e−Xˉe^{-\bar{X}} şeklindedir.
Soruda istenen değer, rassal değişkenin sıfır değerini alma olasılığıdır. Poisson dağılımı için bu olasılık P(X=0)=e−λP(X=0) = e^{-\lambda} olarak hesaplanır. Öncelikle λ\lambda parametresinin en çok olabilirlik (MLE) tahmin edicisi, log-olabilirlik fonksiyonunun türevi sıfıra eşitlenerek λ^=Xˉ\hat{\lambda} = \bar{X} şeklinde bulunur. Daha sonra, MLE'nin değişmezlik (invariance) özelliği gereği, herhangi bir g(λ)g(\lambda) fonksiyonunun en çok olabilirlik tahmin edicisi g(λ^)g(\hat{\lambda}) olduğundan, e−λe^{-\lambda} fonksiyonunda λ\lambda yerine Xˉ\bar{X} yazılarak e−Xˉe^{-\bar{X}} elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Poisson dağılımına ait olabilirlik ve log-olabilirlik fonksiyonlarını yazmak
L(λ)=∏i=1ne−λλXiXi!  ⟹  ln⁡L(λ)=−nλ+ln⁡(λ)∑i=1nXi−ln⁡(∏i=1nXi!)L(\lambda) = \prod_{i=1}^n \frac{e^{-\lambda} \lambda^{X_i}}{X_i!} \implies \ln L(\lambda) = -n\lambda + \ln(\lambda) \sum_{i=1}^n X_i - \ln(\prod_{i=1}^n X_i!)
En çok olabilirlik tahmin edicisini (MLE) bulmak için fonksiyonun logaritmasını alarak maksimizasyon işlemini kolaylaştırmak.
2
Log-olabilirlik fonksiyonunun λ\lambda'ya göre türevini alıp sıfıra eşitlemek
∂ln⁡L(λ)∂λ=−n+∑i=1nXiλ=0  ⟹  λ^=∑i=1nXin=Xˉ\frac{\partial \ln L(\lambda)}{\partial \lambda} = -n + \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\lambda} = 0 \implies \hat{\lambda} = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n} = \bar{X}
Fonksiyonu maksimum yapan λ\lambda değerini (kritik noktayı) bulmak.
3
İstenen olasılık ifadesini λ\lambda cinsinden yazmak
P(X=0)=e−λλ00!=e−λP(X=0) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^0}{0!} = e^{-\lambda}
Soru bizden hiç şikayet gelmeme (X=0X=0) olasılığının tahmin edicisini istemektedir.
4
En çok olabilirlik tahmin edicilerinin değişmezlik (invariance) özelliğini uygulamak
g(λ)=e−λ  ⟹  g(λ^)=e−Xˉg(\lambda) = e^{-\lambda} \implies g(\hat{\lambda}) = e^{-\bar{X}}
Değişmezlik özelliğine göre, λ\lambda'nın MLE'si λ^\hat{\lambda} ise, g(λ)g(\lambda)'nın MLE'si g(λ^)g(\hat{\lambda}) olur.

Anahtar Kavram

En Çok Olabilirlik Yöntemi ve Değişmezlik Özelliği
Bu soruyu puanla

Konular

En Çok Olabilirlik Yöntemi (Maximum Likelihood Estimation)

Bu konudan daha fazla soru