Examkin

Soru

Zorluk: ZorDualite Kavramı ve Dual Model Kurulumu

Bir finansal analist, bir yatırım portföyünün getirisini maksimize etmek için üç farklı karar değişkenine (x1,x2,x3x_1, x_2, x_3) bağlı aşağıdaki doğrusal programlama primal modelini oluşturmuştur:

Maksimum Z=8x1−3x2+5x3\text{Maksimum } Z = 8x_1 - 3x_2 + 5x_3
Kısıtlar:
2x1+4x2−x3≤152x_1 + 4x_2 - x_3 \le 15
3x1−2x2+2x3=203x_1 - 2x_2 + 2x_3 = 20
x1+5x2+3x3≥10x_1 + 5x_2 + 3x_3 \ge 10
x1≥0,x2≤0,x3 is¸aretsizx_1 \ge 0, \quad x_2 \le 0, \quad x_3 \text{ işaretsiz}

Buna göre, bu primal modele ait dual model aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    Min W=15y1+20y2+10y32y1+3y2+y3≥84y1−2y2+5y3≤−3−y1+2y2+3y3=5y1≥0,y2≥0,y3≥0\begin{aligned} &\text{Min } W = 15y_1 + 20y_2 + 10y_3 \\ &2y_1 + 3y_2 + y_3 \ge 8 \\ &4y_1 - 2y_2 + 5y_3 \le -3 \\ &-y_1 + 2y_2 + 3y_3 = 5 \\ &y_1 \ge 0, \quad y_2 \ge 0, \quad y_3 \ge 0 \end{aligned}
  2. B
    Maks W=15y1+20y2+10y32y1+3y2+y3≤84y1−2y2+5y3≥−3−y1+2y2+3y3=5y1≥0,y2 is¸aretsiz,y3≤0\begin{aligned} &\text{Maks } W = 15y_1 + 20y_2 + 10y_3 \\ &2y_1 + 3y_2 + y_3 \le 8 \\ &4y_1 - 2y_2 + 5y_3 \ge -3 \\ &-y_1 + 2y_2 + 3y_3 = 5 \\ &y_1 \ge 0, \quad y_2 \text{ işaretsiz}, \quad y_3 \le 0 \end{aligned}
  3. Min W=15y1+20y2+10y32y1+3y2+y3≥84y1−2y2+5y3≤−3−y1+2y2+3y3=5y1≥0,y2 is¸aretsiz,y3≤0\begin{aligned} &\text{Min } W = 15y_1 + 20y_2 + 10y_3 \\ &2y_1 + 3y_2 + y_3 \ge 8 \\ &4y_1 - 2y_2 + 5y_3 \le -3 \\ &-y_1 + 2y_2 + 3y_3 = 5 \\ &y_1 \ge 0, \quad y_2 \text{ işaretsiz}, \quad y_3 \le 0 \end{aligned}Cevap
  4. D
    Min W=15y1+20y2+10y32y1+3y2+y3≥84y1−2y2+5y3≥−3−y1+2y2+3y3≥5y1≥0,y2 is¸aretsiz,y3 is¸aretsiz\begin{aligned} &\text{Min } W = 15y_1 + 20y_2 + 10y_3 \\ &2y_1 + 3y_2 + y_3 \ge 8 \\ &4y_1 - 2y_2 + 5y_3 \ge -3 \\ &-y_1 + 2y_2 + 3y_3 \ge 5 \\ &y_1 \ge 0, \quad y_2 \text{ işaretsiz}, \quad y_3 \text{ işaretsiz} \end{aligned}
  5. E
    Min W=15y1+20y2+10y32y1+3y2+y3≤84y1−2y2+5y3≥−3−y1+2y2+3y3=5y1≤0,y2 is¸aretsiz,y3≥0\begin{aligned} &\text{Min } W = 15y_1 + 20y_2 + 10y_3 \\ &2y_1 + 3y_2 + y_3 \le 8 \\ &4y_1 - 2y_2 + 5y_3 \ge -3 \\ &-y_1 + 2y_2 + 3y_3 = 5 \\ &y_1 \le 0, \quad y_2 \text{ işaretsiz}, \quad y_3 \ge 0 \end{aligned}

Cevap

Doğru model, amaç fonksiyonunun minimize edildiği, dual değişken işaretlerinin kısıt yönlerine göre (y1≥0y_1 \ge 0, y2y_2 işaretsiz, y3≤0y_3 \le 0) belirlendiği ve dual kısıtların primal değişken işaretleriyle uyumlu olarak (≥\ge, ≤\le, ==) kurulduğu seçenektir.
Doğru cevapta primal modeldeki kısıt ve değişken işaretleri dual kurallarına eksiksiz dönüştürülmüştür. Maksimizasyon modelinden minimizasyona geçerken <= kısıtı >=0 değişkenine, = kısıtı işaretsiz değişkene, >= kısıtı ise <=0 değişkenine dönüşür. Aynı şekilde x_1>=0 değişkeni >= kısıtına, x_2<=0 değişkeni <= kısıtına, x_3 işaretsiz değişkeni ise = kısıtına karşılık gelmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Amaç fonksiyonunu belirleme.
Min W = 15y_1 + 20y_2 + 10y_3
Primal model Maksimum olduğundan, dual model Minimum olmalıdır. Primal sağ taraf sabitleri dual amaç fonksiyonu katsayıları olur.
2
Dual değişken işaretlerini belirleme.
y_1 \ge 0, y_2 işaretsiz, y_3 \le 0
Primal (Maks) modelde kısıt işaretleri sırasıyla <=, = ve >= olduğundan, dual değişkenler kurallara göre şekillenir.
3
Dual kısıt yönlerini belirleme.
1. kısıt \ge, 2. kısıt \le, 3. kısıt =
Primal değişkenler x_1 \ge 0, x_2 \le 0 ve x_3 işaretsiz olduğundan, Min dual modelde kısıtlar sırasıyla \ge, \le ve = yönlerinde olur.
4
Dual kısıt denklemlerini yazma.
2y_1+3y_2+y_3 \ge 8, \quad 4y_1-2y_2+5y_3 \le -3, \quad -y_1+2y_2+3y_3 = 5
Primal katsayılar matrisinin transpozu alınarak ve 3. adımdaki yönler kullanılarak dual kısıtlar oluşturulur.

Anahtar Kavram

Doğrusal programlamada asimetrik ve simetrik kuralları barındıran tam dualite dönüşümü (Dual Model Kurulumu)
Bu soruyu puanla

Konular

Dualite Kavramı ve Dual Model Kurulumu

Bu konudan daha fazla soru