Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

Bir üniversitenin veri bilimi araştırma laboratuvarında görevli bir araştırmacı, sensörlerden gelen gürültülü veriler üzerinden kitleye ait bilinmeyen bir μ\mu parametresini modellemek için yeni bir tahmin edici (WnW_n) önermiştir.

Araştırmacının makalesini hakem değerlendirmesinden geçirebilmesi için, önerdiği WnW_n istatistiğinin μ\mu parametresi için 'tutarlı (consistent) bir tahmin edici' olduğunu matematiksel olarak şüpheye yer bırakmayacak şekilde ispatlaması istenmektedir.

İstatistiksel tahmin teorisi dikkate alındığında, araştırmacının aşağıdaki koşullardan hangisini ispatlaması WnW_n'nin tutarlı bir tahmin edici olduğunu göstermek için yeterli olacaktır?

  1. A
    Bütün nn örneklem çapları için E(Wn)=μE(W_n) = \mu eşitliğinin sağlandığını
  2. B
    Yansızlık özelliği dikkate alınmaksızın lim⁡n→∞Var(Wn)=0\lim_{n \to \infty} Var(W_n) = 0 limitinin sağlandığını
  3. C
    WnW_n'nin μ\mu parametresi için yeterli (sufficient) istatistiğe bağlı bir fonksiyon olduğunu
  4. Asimptotik olarak lim⁡n→∞E[(Wn−μ)2]=0\lim_{n \to \infty} E[(W_n - \mu)^2] = 0 koşulunun sağlandığınıCevap
  5. E
    WnW_n'nin μ\mu için En Çok Olabilirlik (MLE) tahmin edicisi olduğunu

Cevap

Asimptotik olarak lim⁡n→∞E[(Wn−μ)2]=0\lim_{n \to \infty} E[(W_n - \mu)^2] = 0 koşulunun sağlandığını
Bir tahmin edicinin ilgilenilen parametreye olasılıkta yakınsaması (tutarlı olması) için matematiksel yeter koşul, tahmin edicinin Hata Kareler Ortalamasının (MSE) limit durumunda sıfıra eşit olmasıdır. Formül olarak MSE(Wn)=E[(Wn−μ)2]MSE(W_n) = E[(W_n - \mu)^2] şeklinde ifade edilir. Chebyshev eşitsizliğine göre P(∣Wn−μ∣≥ϵ)≤MSE(Wn)ϵ2P(|W_n - \mu| \ge \epsilon) \le \frac{MSE(W_n)}{\epsilon^2}'dir. Dolayısıyla lim⁡n→∞MSE(Wn)=0\lim_{n \to \infty} MSE(W_n) = 0 olduğunda limit durumunda bu olasılık sıfıra gider ve WnW_n'nin μ\mu'ye olasılıkta yakınsadığı (tutarlı olduğu) kesin olarak ispatlanmış olur.

Adım Adım Çözüm

1
Tutarlılık kavramının matematiksel tanımını hatırlama
Tutarlılık, örneklem çapı n→∞n \to \infty iken tahmin edicinin μ\mu değerine olasılıkta yakınsamasıdır: lim⁡n→∞P(∣Wn−μ∣≥ϵ)=0\lim_{n \to \infty} P(|W_n - \mu| \ge \epsilon) = 0
Tutarlılığı ispatlamak için sağlanması gereken asimptotik şartın ne olduğunun belirlenmesi.
2
Tutarlılık için kullanılabilecek matematiksel yeter koşulun analiz edilmesi
Olasılıkta yakınsama için en yaygın ve güçlü yeter koşul, karesel ortalamada yakınsamadır. Bu koşul, Hata Kareler Ortalamasının (MSE) limit durumunda sıfıra gitmesi ile ifade edilir. MSE(Wn)=E[(Wn−μ)2]=Var(Wn)+[Bias(Wn)]2MSE(W_n) = E[(W_n - \mu)^2] = Var(W_n) + [Bias(W_n)]^2. Chebyshev eşitsizliği gereği MSE sıfıra giderse olasılıkta yakınsama da sağlanır.
Hangi ifadenin olasılıkta yakınsamayı doğrudan zorunlu kıldığının tespit edilmesi.
3
Seçeneklerde verilen istatistiksel özelliklerin yeterlilik durumlarının değerlendirilmesi
Yansızlık veya sadece varyansın sıfıra gitmesi tek başlarına eksik kalır. MLE veya yeterli istatistik olmak tutarlılığı zorunlu kılmaz. Sadece MSE'nin asimptotik olarak sıfıra eşit olması (D seçeneği) tutarlılığı kesin olarak ispatlar.
Yanlış varsayımları eleyerek doğru matematiksel teoremin seçilmesi.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE) ve Tutarlılık İlişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

Bu konudan daha fazla soru