Examkin

Soru

Zorluk: KolayCramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n birimleri, parametresi θ>0\theta > 0 olan ve olasılık fonksiyonu

f(x;θ)=e−θθxx!,x=0,1,2,…f(x; \theta) = \frac{e^{-\theta} \theta^x}{x!}, \quad x=0, 1, 2, \dots

şeklinde verilen Poisson dağılımından seçilmiş rastgele bir örneklemdir. Buna göre, θ\theta parametresinin yansız bir tahmin edicisi için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. θn\frac{\theta}{n}Cevap
  2. B
    1nθ\frac{1}{n\theta}
  3. C
    θ\theta
  4. D
    θ2n\frac{\theta^2}{n}
  5. E
    1θ\frac{1}{\theta}

Cevap

Poisson dağılımı için θ\theta parametresinin yansız bir tahmin edicisine ilişkin Cramer-Rao alt sınırı θn\frac{\theta}{n} ifadesine eşittir.
Doğru yanıt olan ifadede, Poisson dağılımı için hesaplanan 1/θ1/\theta değerindeki Fisher bilgisi, nn gözlemli Cramer-Rao alt sınırı formülünde (1/[n⋅I(θ)]1/[n \cdot I(\theta)]) yerine konulduğunda paydadaki 1/θ1/\theta ters dönerek paya geçer ve sonuç θ/n\theta/n olur.

Adım Adım Çözüm

1
Log-olabilirlik fonksiyonunu belirleyin.
ln⁡f(x;θ)=−θ+xln⁡θ−ln⁡x!\ln f(x; \theta) = -\theta + x \ln \theta - \ln x!
Fisher bilgi miktarını hesaplamak için log-olabilirlik fonksiyonunun türevleri gereklidir.
2
Parametreye göre birinci ve ikinci türevleri alın.
∂∂θln⁡f=xθ−1\frac{\partial}{\partial \theta} \ln f = \frac{x}{\theta} - 1 ve ∂2∂θ2ln⁡f=−xθ2\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \ln f = -\frac{x}{\theta^2}
Fisher bilgisi, log-olabilirlik fonksiyonunun ikinci türevinin negatif beklenen değeridir.
3
Tek bir gözlem için Fisher bilgi miktarını (I(θ)I(\theta)) hesaplayın.
I(θ)=−E[−Xθ2]=E(X)θ2=θθ2=1θI(\theta) = -E\left[ -\frac{X}{\theta^2} \right] = \frac{E(X)}{\theta^2} = \frac{\theta}{\theta^2} = \frac{1}{\theta}
Poisson dağılımında beklenen değer E(X)=θE(X) = \theta olduğu için sadeleştirme yapılır.
4
Cramer-Rao alt sınırı formülünü uygulayın.
Var(θ^)≥1nI(θ)=1n(1/θ)=θnVar(\hat{\theta}) \geq \frac{1}{n I(\theta)} = \frac{1}{n (1/\theta)} = \frac{\theta}{n}
nn birimlik örneklem için alt sınır, tek gözlemlik Fisher bilgisinin nn katının tersidir.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao Alt Sınırı (CRAS)
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Cramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru