Examkin

Soru

Zorluk: ZorTamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

Bir devlet hastanesinin acil servisine gece vardiyasında saatlik gelen acil vaka sayısı λ\lambda parametreli Poisson dağılımına uymaktadır. Acil servisin kaynak planlama modelinde, personel ihtiyacının varyansını modelleyebilmek için λ2\lambda^2 değerinin yansız olarak tahmin edilmesi gerekmektedir. Bu amaçla nn saatlik rastgele bir örneklem seçilmiş ve saatlik vaka sayıları X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_n olarak gözlemlenmiştir.

Buna göre, Lehmann-Scheffe teoremi bağlamında λ2\lambda^2 parametresi için Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    (∑i=1nXi)2−∑i=1nXi2n(n−1)\frac{\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)^2 - \sum_{i=1}^n X_i^2}{n(n-1)}
  2. B
    (∑i=1nXi)2n2\frac{\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)^2}{n^2}
  3. C
    1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(X_i - \bar{X}\right)^2
  4. (∑i=1nXi)2−∑i=1nXin2\frac{\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)^2 - \sum_{i=1}^n X_i}{n^2}Cevap
  5. E
    ∑i=1nXi2n2\frac{\sum_{i=1}^n X_i^2}{n^2}

Cevap

Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE), tam ve yeterli istatistik olan T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i değerinin yansızlık şartını sağlayan tek fonksiyonu olan T2−Tn2\frac{T^2 - T}{n^2} ifadesidir.
Doğru tahmin edici, Poisson dağılımı için tam ve yeterli olan istatistiğin (T=∑XiT = \sum X_i) yansız bir fonksiyonudur. TT'nin Poisson dağılımı özelliklerinden yararlanılarak E[T2−T]=n2λ2E[T^2 - T] = n^2\lambda^2 olduğu matematiksel olarak kanıtlanmıştır. Lehmann-Scheffe teoremine göre tam ve yeterli bir istatistiğin yansız tek bir fonksiyonu UMVUE olabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Poisson dağılımı için tam ve yeterli istatistiği belirleme
Neyman çarpanlara ayırma teoremi ve üstel aile özelliklerinden T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i istatistiğinin λ\lambda için tam ve yeterli olduğu bulunur. T∼Poisson(nλ)T \sim \text{Poisson}(n\lambda) dağılımına sahiptir.
Lehmann-Scheffe teoremine göre UMVUE bulabilmek için yansız tahmin edicinin yalnızca tam ve yeterli istatistiğin bir fonksiyonu olması gerekir.
2
Yeterli istatistiğin beklenen değer ve varyansını hesaplama
Poisson dağılımının özelliği gereği E[T]=nλE[T] = n\lambda ve Var(T)=nλVar(T) = n\lambda elde edilir.
Varyans ve beklenen değer özelliklerini kullanarak E[T2]E[T^2] ifadesine ulaşmak için.
3
İkinci moment (T^2) üzerinden yansız bir fonksiyon kurma
E[T2]=Var(T)+(E[T])2=nλ+n2λ2E[T^2] = Var(T) + (E[T])^2 = n\lambda + n^2\lambda^2 olur. Hedefimiz λ2\lambda^2 olduğu için denklem düzenlendiğinde n2λ2=E[T2]−nλ=E[T2]−E[T]=E[T2−T]n^2\lambda^2 = E[T^2] - n\lambda = E[T^2] - E[T] = E[T^2 - T] bulunur.
Tam ve yeterli istatistik TT'nin, beklenen değeri λ2\lambda^2'ye eşit olan bir fonksiyonunu (h(T)h(T)) matematiksel olarak türetmek için.
4
Lehmann-Scheffe teoremini uygulayarak UMVUE'yi tanımlama
E[T2−Tn2]=λ2E\left[\frac{T^2 - T}{n^2}\right] = \lambda^2 eşitliği sağlanır. Lehmann-Scheffe gereği bu fonksiyon UMVUE'dir. TT yerine konduğunda sonuç (∑Xi)2−∑Xin2\frac{(\sum X_i)^2 - \sum X_i}{n^2} olur.
Teorem, tam ve yeterli istatistiğin yansız olan herhangi bir fonksiyonunun eşsiz (unique) UMVUE olduğunu garanti eder.

Anahtar Kavram

Tamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE
Bu soruyu puanla

Konular

Tamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

Bu konudan daha fazla soru