Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorYeterlilik (Sufficiency) ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bir kalite kontrol sürecinde incelenen bir ürünün belirli bir fiziksel ölçüm değeri, ortalaması θ\theta ve varyansı θ2\theta^2 olan normal dağılıma uymaktadır (θ>0\theta > 0). Bu üründen bağımsız olarak rastgele seçilen nn adet gözlem X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n ile gösterilmektedir.

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Neyman Factorization Theorem) dikkate alındığında, bilinmeyen θ\theta parametresi için (minimal) yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i
  2. B
    ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2
  3. (∑i=1nXi,∑i=1nXi2)\left( \sum_{i=1}^n X_i, \sum_{i=1}^n X_i^2 \right)Cevap
  4. D
    ∑i=1nXi∑i=1nXi2\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sum_{i=1}^n X_i^2}
  5. E
    ∑i=1n(Xi−Xˉ)2\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2

Cevap

Doğru yanıt, hem doğrusal toplamı hem de kareler toplamını içeren iki boyutlu vektördür.
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uygulandığında, olabilirlik fonksiyonu g(T(x);θ)g(T(\mathbf{x}); \theta) ve h(x)h(\mathbf{x}) olarak ikiye ayrılır. Üstel terimin açılımında (xi−θ)2=xi2−2θxi+θ2(x_i - \theta)^2 = x_i^2 - 2\theta x_i + \theta^2 ifadesi yer aldığından, θ\theta'nın üs içerisindeki katsayıları hem ∑Xi\sum X_i hem de ∑Xi2\sum X_i^2 istatistikleriyle çarpım durumundadır. gg fonksiyonu örnekleme sadece bu iki bileşen üzerinden bağlıdır ve bu iki bileşen birleştirilip tek bir istatistiğe indirgenemez. Dolayısıyla, θ\theta için minimal yeterli istatistik iki boyutlu vektördür.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen dağılım için ortak olasılık yoğunluk (olabilirlik) fonksiyonunu yazın.
L(θ;x)=∏i=1n12πθexp⁡(−(xi−θ)22θ2)L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi}\theta} \exp\left(-\frac{(x_i - \theta)^2}{2\theta^2}\right)
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulayabilmek için öncelikle tüm örneklemin ortak dağılım fonksiyonunun kurulması gerekir.
2
Çarpım operatörünü uygulayarak üstel fonksiyon içindeki tam kare ifadeyi açın.
L(θ;x)=(2π)−n/2θ−nexp⁡(−12θ2∑i=1n(xi2−2θxi+θ2))L(\theta; \mathbf{x}) = (2\pi)^{-n/2} \theta^{-n} \exp\left(-\frac{1}{2\theta^2} \sum_{i=1}^n (x_i^2 - 2\theta x_i + \theta^2)\right)
Üstel ifade içerisindeki toplamın terimlerini ayırmak, örnekleme ait (gözlemlenen) kısımlar ile θ\theta parametresini birbirinden ayırabilmek için kritik bir adımdır.
3
Toplam sembolünü dağıtarak ifadeyi sadeleştirin ve θ\theta'ya bağlı terimleri gruplayın.
L(θ;x)=(2π)−n/2θ−nexp⁡(−∑i=1nxi22θ2+∑i=1nxiθ−n2)L(\theta; \mathbf{x}) = (2\pi)^{-n/2} \theta^{-n} \exp\left( -\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{2\theta^2} + \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{\theta} - \frac{n}{2} \right)
Toplama işleminin ayrıştırılması sonucunda gözlemlerin hangi istatistiksel fonksiyonlar üzerinden parametreye bağlandığı açıkça ortaya çıkar.
4
Elde edilen ifadeyi Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi formatına (L(θ;x)=g(T(x);θ)⋅h(x)L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}); \theta) \cdot h(\mathbf{x})) getirin.
L(θ;x)=[θ−ne−n/2exp⁡(−∑xi22θ2+∑xiθ)]⏟g(T(x);θ)⋅(2π)−n/2⏟h(x)L(\theta; \mathbf{x}) = \underbrace{\left[ \theta^{-n} e^{-n/2} \exp\left( -\frac{\sum x_i^2}{2\theta^2} + \frac{\sum x_i}{\theta} \right) \right]}_{g(T(\mathbf{x}); \theta)} \cdot \underbrace{(2\pi)^{-n/2}}_{h(\mathbf{x})}
Teoreme göre, gözlemlere sadece T(x)T(\mathbf{x}) istatistiği aracılığıyla bağlı olan gg fonksiyonu belirlendiğinde, T(x)T(\mathbf{x}) yeterli istatistik kabul edilir.
5
gg fonksiyonu içindeki parametre bağımlılıklarını inceleyerek yeterli istatistiği tanımlayın.
g(⋅)g(\cdot) fonksiyonu θ\theta'ya hem ∑xi2\sum x_i^2 hem de ∑xi\sum x_i terimleri üzerinden bağlıdır. Bu nedenle tek parametre olsa dahi yeterli istatistik T(X)=(∑Xi,∑Xi2)T(\mathbf{X}) = \left( \sum X_i, \sum X_i^2 \right) olur.
Her iki toplam bileşeni de farklı parametrik fonksiyonlarla (−1/(2θ2)-1/(2\theta^2) ve 1/θ1/\theta) çarpıldığından, birbirinden bağımsızdırlar ve daha düşük bir boyuta indirgenemezler.

Anahtar Kavram

Eğri Üstel Ailelerde Yeterli İstatistik (Sufficient Statistics in Curved Exponential Families)

Alternatif Yöntem

Dağılımın kütle fonksiyonunu Çok Parametreli Üstel Aile (Multiparameter Exponential Family) standart formuna dönüştürerek, c(θ)exp⁡(∑j=1kwj(θ)tj(x))c(\theta)\exp\left(\sum_{j=1}^k w_j(\theta) t_j(x)\right) yapısındaki doğal istatistikleri tj(x)t_j(x) doğrudan okuma yöntemi de aynı sonucu net bir şekilde verecektir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Yeterlilik (Sufficiency) ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bu konudan daha fazla soru