Examkin

Soru

Zorluk: ZorYeterlilik (Sufficiency) ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bir elektronik bileşenin kullanım ömrü (yıl olarak) XX rassal değişkeni ile modellenmektedir. Bu bileşenlerin arızalanma süreleri θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametre olmak üzere aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir:

f(x;θ)={1θe−x−θθ,x≥θ0,x<θf(x; \theta) = \begin{cases} \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x-\theta}{\theta}}, & x \ge \theta \\ 0, & x < \theta \end{cases}

Bu üretim hattından rastgele nn adet bileşen test edilmiş ve arızalanma süreleri X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olarak gözlemlenmiştir. (Veri setindeki minimum değer X(1)=min⁡(X1,…,Xn)X_{(1)} = \min(X_1, \dots, X_n) ve maksimum değer X(n)=max⁡(X1,…,Xn)X_{(n)} = \max(X_1, \dots, X_n) olarak tanımlanmıştır.)

Neyman Çarpanlara Ayırma (Factorization) Teoremi dikkate alındığında, θ\theta parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    X(1)X_{(1)}
  2. B
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i
  3. (X(1),∑i=1nXi)\left(X_{(1)}, \sum_{i=1}^n X_i\right)Cevap
  4. D
    (X(1),X(n))\left(X_{(1)}, X_{(n)}\right)
  5. E
    ∑i=1n(Xi−X(1))\sum_{i=1}^n (X_i - X_{(1)})

Cevap

Olabilirlik fonksiyonunda θ\theta parametresi hem üstel terimde hem de tanım aralığı sınırında yer aldığından yeterli istatistik (X(1),∑i=1nXi)\left(X_{(1)}, \sum_{i=1}^n X_i\right) vektörüdür.
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremine göre bir T(X)T(\mathbf{X}) istatistiğinin yeterli olabilmesi için olabilirlik fonksiyonunun L(θ;x)=g(T(x),θ)⋅h(x)L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x}) şeklinde yazılabilmesi gerekir. Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonunun olabilirlik fonksiyonu L(θ;x)=enθne−1θ∑i=1nxiI(x(1)≥θ)L(\theta; \mathbf{x}) = \frac{e^n}{\theta^n} e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i} I(x_{(1)} \ge \theta) şeklindedir. Burada θ\theta parametresini içeren gg çarpanı hem ∑xi\sum x_i toplamını hem de gösterge fonksiyonu (indicator) içindeki x(1)x_{(1)} (minimum) değerini barındırmaktadır. Bu iki bileşen birbirinden ayrılamaz ve ikisi de θ\theta tahmini için bilgi taşır. Dolayısıyla θ\theta için yeterli istatistik (X(1),∑i=1nXi)\left(X_{(1)}, \sum_{i=1}^n X_i\right) vektörüdür.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik (Likelihood) fonksiyonunu yazmak.
L(θ;x)=∏i=1n1θe−xi−θθI(xi≥θ)L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x_i-\theta}{\theta}} I(x_i \ge \theta) elde edilir.
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremini uygulamak için tüm örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonuna ihtiyaç vardır.
2
Olabilirlik fonksiyonunu düzenleyerek çarpanlara ayırmak.
L(θ;x)=1θne−1θ∑i=1n(xi−θ)I(x(1)≥θ)=enθne−1θ∑i=1nxiI(x(1)≥θ)L(\theta; \mathbf{x}) = \frac{1}{\theta^n} e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n (x_i-\theta)} I(x_{(1)} \ge \theta) = \frac{e^n}{\theta^n} e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i} I(x_{(1)} \ge \theta) bulunur.
Parametreye bağlı kısımları (g(T(x),θ)g(T(\mathbf{x}), \theta)) ve sadece gözlemlere bağlı kısımları (h(x)h(\mathbf{x})) belirlemek için ifade basitleştirilmelidir.
3
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremine göre yeterli istatistiği tanımlamak.
g(T(x),θ)=enθne−1θ∑i=1nxiI(x(1)≥θ)g(T(\mathbf{x}), \theta) = \frac{e^n}{\theta^n} e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i} I(x_{(1)} \ge \theta) ve h(x)=1h(\mathbf{x}) = 1 olarak ayrılır.
θ\theta parametresini içeren gg fonksiyonu veri setinden sadece ∑i=1nxi\sum_{i=1}^n x_i toplamına ve x(1)x_{(1)} minimum değerine ihtiyaç duyar. Bu nedenle bu iki değerin oluşturduğu vektör minimal yeterli istatistiktir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Factorization Theorem)
Bu soruyu puanla

Konular

Yeterlilik (Sufficiency) ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bu konudan daha fazla soru