Examkin

Soru

Zorluk: ZorYeterlilik (Sufficiency) ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bir otomotiv parça üretim hattında, üretilen millerin standart çaptan sapma miktarları (mikron cinsinden) ölçülmektedir. Sapma miktarlarını temsil eden XX rassal değişkeninin, sıfır merkezli ve bilinmeyen bir θ>0\theta > 0 tolerans parametresi ile −θ≤x≤θ-\theta \leq x \leq \theta aralığında sürekli düzgün (uniform) dağılıma sahip olduğu varsayılmaktadır. Bu üretim hattından rastgele seçilen nn adet milin sapma miktarları X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olarak ölçülmüştür.

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi kullanıldığında, bilinmeyen θ\theta tolerans parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. max⁡1≤i≤n∣Xi∣\max_{1 \leq i \leq n} |X_i|Cevap
  2. B
    (X(1),X(n))(X_{(1)}, X_{(n)})
  3. C
    X(n)X_{(n)}
  4. D
    X(n)−X(1)X_{(n)} - X_{(1)}
  5. E
    ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2

Cevap

max⁡1≤i≤n∣Xi∣\max_{1 \leq i \leq n} |X_i| istatistiği bilinmeyen θ\theta parametresi için yeterli istatistiktir.
Düzgün dağılımın sınırları [−θ,θ][-\theta, \theta] olduğunda, her bir gözlem için −θ≤xi≤θ-\theta \leq x_i \leq \theta eşitsizliğinin sağlanması gerekir. Bu durum mutlak değer kullanılarak ∣xi∣≤θ|x_i| \leq \theta biçiminde ifade edilebilir. Tüm örneklem için bu koşulun aynı anda sağlanması, örneklemdeki mutlak değerce en büyük elemanın θ\theta'dan küçük ya da eşit olmasına bağlıdır. Olabilirlik fonksiyonu L(θ)=(2θ)−nI(max⁡∣xi∣≤θ)L(\theta) = (2\theta)^{-n} I(\max|x_i| \leq \theta) şeklinde yazıldığında, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uyarınca T(X)=max⁡∣Xi∣T(X) = \max|X_i| fonksiyonunun yeterli istatistik olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Tek bir gözlem için olasılık yoğunluk fonksiyonunu (PDF) ve olabilirlik fonksiyonunu yazın.
f(x;θ)=12θI(−θ≤x≤θ)f(x; \theta) = \frac{1}{2\theta} I(-\theta \leq x \leq \theta). Rastgele örneklem için olabilirlik fonksiyonu: L(θ;x)=∏i=1n12θI(−θ≤xi≤θ)L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{2\theta} I(-\theta \leq x_i \leq \theta)
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremini uygulayabilmek için öncelikle ortak dağılım (olabilirlik) fonksiyonunu elde etmek gerekir.
2
Olabilirlik fonksiyonundaki çarpım işlemini basitleştirin ve gösterge (indicator) fonksiyonlarını düzenleyin.
L(θ;x)=1(2θ)n∏i=1nI(−θ≤xi≤θ)L(\theta; \mathbf{x}) = \frac{1}{(2\theta)^n} \prod_{i=1}^n I(-\theta \leq x_i \leq \theta). Çarpım halindeki göstergeler, tüm xix_i'lerin −θ-\theta ile θ\theta arasında olmasını gerektirir.
Destek kümesi parametreye bağlı olduğunda, sınır koşullarını sıra istatistikleri (order statistics) yardımıyla ifade etmek şarttır.
3
Tüm xix_i'lerin −θ≤xi≤θ-\theta \leq x_i \leq \theta aralığında olma koşulunu minimum ve maksimum değerler cinsinden yazın.
Tüm xi≥−θ  ⟹  min⁡(Xi)=X(1)≥−θx_i \geq -\theta \implies \min(X_i) = X_{(1)} \geq -\theta
Tüm xi≤θ  ⟹  max⁡(Xi)=X(n)≤θx_i \leq \theta \implies \max(X_i) = X_{(n)} \leq \theta
Eşitsizliklerin tamamının aynı anda sağlanması ancak ekstrem (uç) değerlerin bu sınırlar içinde kalmasıyla mümkündür.
4
İki eşitsizliği birleştirerek tek bir yeterli istatistik elde edin.
−X(1)≤θ-X_{(1)} \leq \theta ve X(n)≤θX_{(n)} \leq \theta koşulları birleştirildiğinde max⁡(−X(1),X(n))≤θ\max(-X_{(1)}, X_{(n)}) \leq \theta elde edilir. Bu ifade max⁡i∣Xi∣≤θ\max_{i} |X_i| \leq \theta ile eşdeğerdir.
Eşitsizliklerin her ikisinin de sağlanması, mutlak değerce en büyük olan gözlemin θ\theta'dan küçük veya eşit olmasını gerektirir.
5
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi formatına uygun olarak L(θ;x)=g(T(x),θ)⋅h(x)L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x}) ayrışımını yapın.
L(θ;x)=[1(2θ)nI(max⁡∣xi∣≤θ)]⋅1L(\theta; \mathbf{x}) = \left[ \frac{1}{(2\theta)^n} I(\max |x_i| \leq \theta) \right] \cdot 1. Burada T(x)=max⁡∣Xi∣T(\mathbf{x}) = \max |X_i|, h(x)=1h(\mathbf{x}) = 1 dir.
Teoreme göre, θ\theta'ya bağlı olan kısım gg fonksiyonudur ve bu fonksiyonun içindeki veri bağımlılığı yalnızca T(x)T(\mathbf{x}) üzerinden gerçekleşmektedir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Destek Kümesinin Parametreye Bağlı Olduğu Durumlar)
Bu soruyu puanla

Konular

Yeterlilik (Sufficiency) ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bu konudan daha fazla soru