Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorMonoton Olabilirlik Oranı (MLR)

Bir araştırmacı, bir popülasyondaki belirli bir değişkenin davranışını analiz etmek amacıyla x≥1x \ge 1 ve θ>0\theta > 0 olmak üzere olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x∣θ)=θxθ+1f(x|\theta) = \frac{\theta}{x^{\theta+1}}

ile verilen Pareto dağılımını kullanmaktadır. Bu popülasyondan alınan nn birimlik rastgele örneklem X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n ile gösterilmektedir.

Araştırmacı, H0:θ≥θ0H_0: \theta \ge \theta_0 yokluk hipotezini H1:θ<θ0H_1: \theta < \theta_0 alternatif hipotezine karşı test etmek istemektedir.

Bir dağılım ailesinin, her θ2>θ1\theta_2 > \theta_1 için L(θ2∣x)L(θ1∣x)\frac{L(\theta_2|\mathbf{x})}{L(\theta_1|\mathbf{x})} olabilirlik oranının T(x)T(\mathbf{x}) istatistiğinin artan bir fonksiyonu olması durumunda, T(x)T(\mathbf{x})'e göre Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğine sahip olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu dağılım ailesinin MLR özelliğini sağladığı T(x)T(\mathbf{x}) istatistiği ve Karlin-Rubin teoremi uyarınca bu test için Düzgün En Güçlü (UMP) testin red bölgesi aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir? (kk sabit bir kritik değeri göstermektedir.)

  1. T(x)=−∑i=1nln⁡(Xi)T(\mathbf{x}) = -\sum_{i=1}^n \ln(X_i) olup, red bölgesi ∑i=1nln⁡(Xi)≥k\sum_{i=1}^n \ln(X_i) \ge k şeklindedir.Cevap
  2. B
    T(x)=∑i=1nln⁡(Xi)T(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n \ln(X_i) olup, red bölgesi ∑i=1nln⁡(Xi)≤k\sum_{i=1}^n \ln(X_i) \le k şeklindedir.
  3. C
    T(x)=−∑i=1nln⁡(Xi)T(\mathbf{x}) = -\sum_{i=1}^n \ln(X_i) olup, red bölgesi ∑i=1nln⁡(Xi)≤k\sum_{i=1}^n \ln(X_i) \le k şeklindedir.
  4. D
    T(x)=−∑i=1nXiT(\mathbf{x}) = -\sum_{i=1}^n X_i olup, red bölgesi ∑i=1nXi≥k\sum_{i=1}^n X_i \ge k şeklindedir.
  5. E
    T(x)=∑i=1nln⁡(Xi)T(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n \ln(X_i) olup, red bölgesi ∑i=1nln⁡(Xi)≥k\sum_{i=1}^n \ln(X_i) \ge k şeklindedir.

Cevap

Doğru seçenek T(x)=−∑i=1nln⁡(Xi)T(\mathbf{x}) = -\sum_{i=1}^n \ln(X_i) olup, red bölgesinin ∑i=1nln⁡(Xi)≥k\sum_{i=1}^n \ln(X_i) \ge k şeklinde verildiği seçenektir.
Olabilirlik oranı incelendiğinde ifadenin exp⁡(−(θ2−θ1)∑ln⁡Xi)\exp(-(\theta_2-\theta_1)\sum \ln X_i) barındırdığı görülür. θ2>θ1\theta_2 > \theta_1 varsayımı altında üstel katsayı negatiftir, dolayısıyla bu fonksiyon ancak T(x)=−∑ln⁡XiT(\mathbf{x}) = -\sum \ln X_i istatistiğine göre monoton artandır. İkinci aşamada, test edilen yokluk hipotezi H0:θ≥θ0H_0: \theta \ge \theta_0 ve alternatif hipotez H1:θ<θ0H_1: \theta < \theta_0 şeklindedir. Karlin-Rubin teoremine göre, MLR istatistiği cinsinden red bölgesi alternatif hipotezin yönüne uygun olarak küçük değerleri (T(x)≤cT(\mathbf{x}) \le c) içermelidir. T(x)T(\mathbf{x}) yerine konulduğunda −∑ln⁡Xi≤c-\sum \ln X_i \le c eşitsizliği elde edilir ve her iki taraf eksi ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirerek ∑ln⁡Xi≥k\sum \ln X_i \ge k nihai red bölgesine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklemin ortak olasılık (olabilirlik) fonksiyonunu yazın.
L(θ∣x)=∏i=1nθXi−(θ+1)=θn∏i=1nXi−(θ+1)L(\theta|\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \theta X_i^{-(\theta+1)} = \theta^n \prod_{i=1}^n X_i^{-(\theta+1)}
Monoton olabilirlik oranını (MLR) bulmak için öncelikle olabilirlik fonksiyonunun tanımlanması gerekir.
2
Herhangi θ2>θ1\theta_2 > \theta_1 için olabilirlik oranını (L(θ2∣x)L(θ1∣x)\frac{L(\theta_2|\mathbf{x})}{L(\theta_1|\mathbf{x})}) oluşturun.
L(θ2∣x)L(θ1∣x)=(θ2θ1)n∏Xi−(θ2+1)∏Xi−(θ1+1)=(θ2θ1)n∏i=1nXi−(θ2−θ1)\frac{L(\theta_2|\mathbf{x})}{L(\theta_1|\mathbf{x})} = \left(\frac{\theta_2}{\theta_1}\right)^n \frac{\prod X_i^{-(\theta_2+1)}}{\prod X_i^{-(\theta_1+1)}} = \left(\frac{\theta_2}{\theta_1}\right)^n \prod_{i=1}^n X_i^{-(\theta_2 - \theta_1)}
MLR özelliğinin hangi istatistiğe göre monoton artan olduğunu belirlemek için oransal fonksiyon incelenmelidir.
3
Olabilirlik oranını üstel fonksiyona çevirerek T(x)T(\mathbf{x}) istatistiğini tespit edin.
Oran, (θ2θ1)nexp⁡(−(θ2−θ1)∑i=1nln⁡(Xi))\left(\frac{\theta_2}{\theta_1}\right)^n \exp\left( -(\theta_2-\theta_1)\sum_{i=1}^n \ln(X_i) \right) şeklinde yazılabilir. θ2−θ1>0\theta_2 - \theta_1 > 0 olduğu için, bu ifade ∑ln⁡(Xi)\sum \ln(X_i)'ye göre azalan, −∑ln⁡(Xi)- \sum \ln(X_i)'ye göre ise artandır. Bu nedenle T(x)=−∑i=1nln⁡(Xi)T(\mathbf{x}) = -\sum_{i=1}^n \ln(X_i)'dir.
Sorudaki tanım gereği oran T(x)T(\mathbf{x})'in artan bir fonksiyonu olmalıdır.
4
Karlin-Rubin teoremine göre, testin red bölgesinin yönünü alternatif hipoteze bakarak belirleyin.
Test H0:θ≥θ0H_0: \theta \ge \theta_0 hipotezine karşı H1:θ<θ0H_1: \theta < \theta_0 yönündedir. Karlin-Rubin'e göre alternatif hipotez parametrenin daha 'küçük' değerlerini gösterdiği için red bölgesi de T(x)≤cT(\mathbf{x}) \le c olmalıdır.
UMP testlerinde red bölgesi MLR istatistiği üzerinden alternatif hipotezin yönüyle paralel kurgulanır.
5
T(x)≤cT(\mathbf{x}) \le c eşitsizliğinde istatistiği yerine koyarak örneklem değerleri cinsinden nihai red bölgesini bulun.
−∑i=1nln⁡(Xi)≤c  ⟹  ∑i=1nln⁡(Xi)≥−c- \sum_{i=1}^n \ln(X_i) \le c \implies \sum_{i=1}^n \ln(X_i) \ge -c. Eşitsizliğin sağ tarafına kk sabitini atarsak red bölgesi ∑i=1nln⁡(Xi)≥k\sum_{i=1}^n \ln(X_i) \ge k olarak bulunur.
Sınav formatındaki seçeneklerde istenen matematiksel yapıya ulaşmak için eşitsizlik düzenlenmelidir.

Anahtar Kavram

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) ve Karlin-Rubin Teoremi
Bu soruyu puanla

Konular

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)

Bu konudan daha fazla soru