Examkin

Soru

Zorluk: ZorBağımsız Değişkenlerin Toplamı ve Konvolüsyon (Evrişim)

Bir sistemin işlem süresi, birbirinden bağımsız çalışan iki farklı alt bileşenin sürelerinin toplamından oluşmaktadır.

Birinci bileşenin işlem süresi olan XX rastgele değişkeni, (0,2)(0, 2) aralığında sürekli düzgün (üniform) dağılıma sahiptir. İkinci bileşenin işlem süresi olan YY rastgele değişkeni ise ortalaması 11 olan üstel dağılıma sahiptir.

Bu iki bileşenin toplam işlem süresi Z=X+YZ = X + Y rastgele değişkeni ile modellendiğine göre, z>2z > 2 durumu için ZZ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu (fZ(z)f_Z(z)) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    12(1−e−z)\frac{1}{2} (1 - e^{-z})
  2. B
    12e−z\frac{1}{2} e^{-z}
  3. 12e−z(e2−1)\frac{1}{2} e^{-z} (e^2 - 1)Cevap
  4. D
    12\frac{1}{2}
  5. E
    14e−z(e2−1)\frac{1}{4} e^{-z} (e^2 - 1)

Cevap

12e−z(e2−1)\frac{1}{2} e^{-z} (e^2 - 1) ifadesidir.
İki bağımsız sürekli rastgele değişkenin toplamının olasılık yoğunluk fonksiyonu konvolüsyon integrali fZ(z)=∫fX(x)fY(z−x)dxf_Z(z) = \int f_X(x) f_Y(z-x) dx ile bulunur. z>2z > 2 durumu için integral sınırları, XX'in tanımlı olduğu (0,2)(0, 2) aralığının tamamını kapsar. İntegral ∫0212e−(z−x)dx\int_{0}^{2} \frac{1}{2} e^{-(z-x)} dx biçiminde hesaplandığında sonuç doğru seçenek olan ifadeyi verir.

Adım Adım Çözüm

1
Rastgele değişkenlerin olasılık yoğunluk fonksiyonlarını (PDF) belirleme
fX(x)=12f_X(x) = \frac{1}{2} (0<x<20 < x < 2 için) ve fY(y)=e−yf_Y(y) = e^{-y} (y>0y > 0 için)
Sürekli düzgün dağılım ve ortalaması 11 olan üstel dağılımın tanımı gereğidir.
2
Bağımsız değişkenlerin toplamı için konvolüsyon (evrişim) integralini kurma
fZ(z)=∫−∞∞fX(x)fY(z−x)dxf_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) dx
İki bağımsız rastgele değişkenin toplamının dağılımı konvolüsyon integrali formülü ile bulunur.
3
İntegral sınırlarını z>2z > 2 durumuna göre analiz etme
fX(x)f_X(x) fonksiyonu 0<x<20 < x < 2 aralığında, fY(z−x)f_Y(z-x) ise z−x>0z-x > 0 yani x<zx < z aralığında tanımlıdır. z>2z > 2 olduğunda, iki koşulun kesişimi x'in sınırlarını 00'dan 22'ye kadar belirler.
Her iki olasılık yoğunluk fonksiyonunun sıfırdan farklı değer aldığı ortak bölgede integral alınmalıdır.
4
İntegrali çözme ve sadeleştirme
fZ(z)=∫0212e−(z−x)dx=12e−z∫02exdx=12e−z[ex]02=12e−z(e2−1)f_Z(z) = \int_{0}^{2} \frac{1}{2} e^{-(z-x)} dx = \frac{1}{2} e^{-z} \int_{0}^{2} e^x dx = \frac{1}{2} e^{-z} [e^x]_0^2 = \frac{1}{2} e^{-z} (e^2 - 1)
Belirli integral sınırlarında üstel fonksiyonun anti-türevi hesaplanarak nihai fonksiyon elde edilir.

Anahtar Kavram

Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının konvolüsyon (evrişim) integrali ile olasılık yoğunluk fonksiyonunun bulunması

Alternatif Yöntem

Problemi çözmek için değişken dönüştürme (Jakobiyen) yöntemi de kullanılabilir. Ortak dağılım fX,Y(x,y)=12e−yf_{X,Y}(x,y) = \frac{1}{2} e^{-y} yazılarak z=x+yz = x + y ve u=xu = x dönüşümü yapılır. z>2z > 2 aralığı için uu değişkeninin sınırları 00'dan 22'ye kadar entegre edilerek ZZ'nin marjinal fonksiyonu elde edilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Bağımsız Değişkenlerin Toplamı ve Konvolüsyon (Evrişim)