Examkin

Soru

Zorluk: KolayTahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

Bir θ\theta parametresini tahmin etmek amacıyla geliştirilen θ^n\hat{\theta}_n tahmin edicisinin beklenen değeri E(θ^n)=θ+1nE(\hat{\theta}_n) = \theta + \frac{1}{n} ve varyansı Var(θ^n)=σ2n2Var(\hat{\theta}_n) = \frac{\sigma^2}{n^2} olarak verilmiştir. Buna göre, örneklem hacmi nn sonsuza giderken θ^n\hat{\theta}_n tahmin edicisinin asimptotik davranışı için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

  1. Tutarlı bir tahmin edicidir.Cevap
  2. B
    Yansız bir tahmin edicidir.
  3. C
    Tutarlı olmayan bir tahmin edicidir.
  4. D
    Hata kareler ortalaması (MSEMSE) σ2\sigma^2 değerine yakınsar.
  5. E
    Örneklem hacminden bağımsız olarak her zaman θ\theta değerine eşittir.

Cevap

Tahmin edici tutarlıdır çünkü örneklem hacmi sonsuza giderken hata kareler ortalaması (MSE) sıfıra yaklaşmaktadır.
Tutarlılık özelliği, tahmin edicinin örneklem hacmi arttıkça gerçek parametre değerine yaklaşma kapasitesini ölçer. Verilen tahmin edicide hem varyans (Var→0Var \to 0) hem de yan miktarının karesi (Bias2→0Bias^2 \to 0) sıfıra gittiği için Ortalama Hata Karesi (MSE) de sıfıra gitmektedir, bu da tahmin edicinin tutarlı olduğunu kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1
Yan (bias) miktarını belirleyin.
B(θ^n)=E(θ^n)−θ=(θ+1n)−θ=1nB(\hat{\theta}_n) = E(\hat{\theta}_n) - \theta = (\theta + \frac{1}{n}) - \theta = \frac{1}{n}
Tutarlılık analizi için yan miktarının hesaplanması gerekir.
2
Hata kareler ortalaması (MSE) formülünü oluşturun.
MSE(θ^n)=Var(θ^n)+[B(θ^n)]2=σ2n2+(1n)2=σ2+1n2MSE(\hat{\theta}_n) = Var(\hat{\theta}_n) + [B(\hat{\theta}_n)]^2 = \frac{\sigma^2}{n^2} + (\frac{1}{n})^2 = \frac{\sigma^2 + 1}{n^2}
Tutarlılık için yeter koşul olan MSE'nin asimptotik davranışını incelemek gerekir.
3
Örneklem hacmi sonsuza giderken MSE'nin limitini hesaplayın.
lim⁡n→∞MSE(θ^n)=lim⁡n→∞σ2+1n2=0\lim_{n \to \infty} MSE(\hat{\theta}_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{\sigma^2 + 1}{n^2} = 0
Limit değeri sıfır ise tahmin edici tutarlıdır.

Anahtar Kavram

Bir tahmin edicinin tutarlı (consistent) olabilmesi için gerek ve yeter koşul, tahmin edicinin parametreye olasılıksal olarak yakınsamasıdır; MSE'nin sıfıra gitmesi ise bunun için güçlü bir yeter koşuldur.

Daha Fazla Pratik

Yanlı olup tutarlı olan başka tahmin ediciler (örneğin kitle varyansının n ile bölündüğü durum) üzerinde pratik yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

Bu konudan daha fazla soru