Examkin

Soru

Zorluk: ZorTahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

Bir endüstriyel kalite kontrol sürecinde, üretilen parçaların dayanıklılık ömürlerinin beklenen değeri (μ\mu) tahmin edilmek istenmektedir. Sürecin varyansının σ2\sigma^2 (σ2>0\sigma^2 > 0) olduğu bilinmektedir. Kalite kontrol mühendisi, rastgele seçilen nn adet parçanın dayanıklılık sürelerinden (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) yararlanarak μ\mu parametresi için aşağıdaki üç tahmin ediciyi önermiştir:

W1=Xˉ+10nW_1 = \bar{X} + \frac{10}{n}
W2=X1+X22W_2 = \frac{X_1 + X_2}{2}
W3=(1−3n)XˉW_3 = \left( 1 - \frac{3}{n} \right) \bar{X}

Burada Xˉ\bar{X}, örneklem ortalamasını ifade etmektedir.

Bu tahmin edicilerin yansızlık ve tutarlılık özellikleri incelendiğinde, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. W1W_1 ve W3W_3 tahmin edicileri yanlı olmalarına karşın varyansları ve yan miktarları asimptotik olarak sıfıra gittiği için tutarlıdır; W2W_2 ise yansız olmasına rağmen tutarlı değildir.Cevap
  2. B
    Bir tahmin edicinin tutarlı olması için öncelikle her örneklem çapında yansız olması gerektiğinden, yalnızca yansızlık şartını sağlayan W2W_2 tutarlı bir tahmin edicidir.
  3. C
    W1W_1 ve W3W_3 tahmin edicilerinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) hesaplanırken varyanslarına eklenen yan miktarları asimptotik olarak sıfıra gitmediği için her ikisi de tutarsızdır.
  4. D
    W2W_2 tahmin edicisinin beklenen değeri tam olarak μ\mu'ye eşit olduğu için asimptotik varyansının sıfıra gidip gitmediğine bakılmaksızın tutarlılık şartını sağlar.
  5. E
    W3W_3 tahmin edicisinin içerdiği çarpan nedeniyle asimptotik beklenen değeri kitle ortalamasından farklı olacağından, olasılıkta μ\mu'ye yakınsamaz ve tutarsızdır.

Cevap

W1W_1 ve W3W_3 tahmin edicilerinin yanlı fakat tutarlı, W2W_2 tahmin edicisinin ise yansız fakat tutarsız olduğunu belirten ifadedir.
Tutarlılık için yeter koşul, tahmin edicinin Hata Kareler Ortalamasının (MSE) n→∞n \to \infty iken sıfıra gitmesidir. MSE = Varyans + (Yan)2^2 formülüne göre; W1W_1 tahmin edicisinin varyansı σ2/n\sigma^2/n ve yan miktarı 10/n10/n'dir. Her ikisi de limit durumunda sıfıra gittiği için MSE sıfıra yakınsar ve W1W_1 tutarlıdır. Benzer şekilde, W3W_3'ün varyansı (1−3/n)2σ2/n(1-3/n)^2 \sigma^2/n ve yan miktarı −3μ/n-3\mu/n olup, asimptotik limitleri sıfırdır; yani W3W_3 de tutarlıdır. Her iki tahmin edici de sonlu örneklemlerde yanlıdır. Öte yandan, W2W_2 tahmin edicisinin beklenen değeri μ\mu olduğu için tam yansızdır. Ancak varyansı nn'den bağımsız olarak σ2/2\sigma^2/2 sabit değerine eşittir. Varyansı sıfıra gitmediğinden olasılıkta μ\mu'ye yakınsamaz ve tutarsızdır. Dolayısıyla W1W_1 ve W3W_3 yanlı fakat tutarlı, W2W_2 ise yansız fakat tutarsızdır.

Adım Adım Çözüm

1
W1W_1 tahmin edicisinin yansızlık ve tutarlılık analizinin yapılması
Beklenen değer E(W1)=μ+10/nE(W_1) = \mu + 10/n (Yanlı). Asimptotik varyans lim⁡(σ2/n)=0\lim (\sigma^2/n) = 0 ve asimptotik yan lim⁡(10/n)=0\lim (10/n) = 0. MSE →0\to 0 olduğu için tutarlıdır.
Tutarlılığın yeter koşulu olan MSE'nin sıfıra gitme prensibini kontrol etmek.
2
W2W_2 tahmin edicisinin yansızlık ve tutarlılık analizinin yapılması
Beklenen değer E(W2)=(μ+μ)/2=μE(W_2) = (\mu + \mu)/2 = \mu (Yansız). Varyans Var(W2)=σ2/2Var(W_2) = \sigma^2/2'dir. Varyans nn'e bağlı olmadığı için sıfıra gitmez, dolayısıyla tutarsızdır.
Sadece ilk iki gözlemi kullanan bir tahmin edicinin büyük örneklem özelliklerini incelemek.
3
W3W_3 tahmin edicisinin yansızlık ve tutarlılık analizinin yapılması
Beklenen değer E(W3)=(1−3/n)μ=μ−3μ/nE(W_3) = (1 - 3/n)\mu = \mu - 3\mu/n (Yanlı). Asimptotik varyans ve yan miktarı sıfıra gittiği için MSE →0\to 0'dır ve tutarlıdır.
Örneklem ortalamasının ölçeklendirilmiş bir versiyonunun asimptotik davranışını değerlendirmek.
4
Bulguların karşılaştırılarak doğru seçeneğin belirlenmesi
W1W_1 ve W3W_3 yanlı fakat tutarlı, W2W_2 yansız fakat tutarsızdır.
Seçenekler arasında yansızlık ve tutarlılık kavramlarını doğru sentezleyen ifadeyi bulmak.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalamasının (MSE) sıfıra yakınsaması durumu, bir tahmin edicinin tutarlı olması için yeter koşuldur. MSE hem varyansı hem de yanlılık miktarını içerir. Yansızlık, tutarlılık için zorunlu bir koşul değildir.
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

Bu konudan daha fazla soru