Examkin

Soru

Zorluk: ZorKukla Değişken Kavramı ve Oluşturulması

Bir finansal analist, banka müşterilerinin bireysel kredi kullanım miktarlarını (YY) tahmin etmek amacıyla bir çoklu doğrusal regresyon modeli kurmaktadır. Analist, modelde yer alan nicel değişkenlere ek olarak, müşterilerin çalışma durumunu (Kamu Çalışanı, Özel Sektör Çalışanı, Serbest Meslek, Emekli olmak üzere 4 kategori) ve ikamet edilen konut tipini (Kendi Evi, Kiracı, Lojman olmak üzere 3 kategori) nitel (kategorik) değişkenler olarak dâhil etmek istemektedir.

Modelde bir sabit terimin (β0\beta_0) bulunduğu varsayımı altında, araştırmacının tam çoklu doğrusal bağlantı (kukla değişken tuzağı) sorunundan kaçınarak her iki nitel değişkenin ana etkilerini (main effects) modele yansıtması için uygulaması gereken kukla değişken tanımlama stratejisi ve bunun teorik gerekçesi aşağıdakilerden hangisinde en doğru şekilde ifade edilmiştir?

  1. Çalışma durumu için 3 ve konut tipi için 2 olmak üzere toplam 5 kukla değişken tanımlanmalıdır; aksi takdirde herhangi bir nitel değişkenin tüm kategorileri modele dâhil edildiğinde, bu kukla değişkenlerin toplamı sabit terimin birim vektörüne eşit olacağından (X′X)(X'X) matrisi tekil (singüler) hâle gelir.Cevap
  2. B
    Çalışma durumu için 4 ve konut tipi için 3 olmak üzere toplam 7 kukla değişken tanımlanmalıdır; nitel değişkenlerin bağımlı değişken üzerindeki net etkisini tam olarak ölçebilmek için hiçbir alt kategorinin model dışında bırakılmaması gerekir.
  3. C
    Çalışma durumu için 4 ve konut tipi için 3 olmak üzere toplam 7 kukla değişken tanımlanmalıdır; bu uygulama tam çoklu doğrusal bağlantı yaratsa bile, EKK tahmincilerinde yalnızca sapmaya (bias) yol açacağı için yeterince büyük bir örneklem hacmiyle bu teorik sorun aşılabilir.
  4. D
    Çalışma durumu için 3 ve konut tipi için 2 olmak üzere toplam 5 kukla değişken tanımlanmalıdır; tüm kategorilerin modele alınması durumunda gereksiz değişken eklemeden kaynaklı aşırı belirleme sorunu doğacak ve EKK tahmincileri sapmalı ve tutarsız hâle gelecektir.
  5. E
    Çalışma durumu için 3 ve konut tipi için 2 olmak üzere toplam 5 kukla değişken tanımlanmalıdır; dışarıda bırakılan referans kategoriler her iki nitel değişkenin mutlak ortalama değerini sıfıra eşitleyerek diğer katsayıların mutlak seviye olarak yorumlanmasını sağlar.

Cevap

Doğru strateji, her bir nitel değişken için kategori sayısının bir eksiği kadar (3+2=5) kukla değişken tanımlamak ve bunun gerekçesinin matris tekilliğini (singülerliği) önlemek olduğunu bilmektir.
Çalışma durumu (m=4m=4) ve konut tipi (m=3m=3) nitel değişkenleri modele dâhil edilirken, sabit terimin bulunduğu bir denklemde (m−1)(m-1) kuralı gereği sırasıyla 3 ve 2 kukla değişken tanımlanması zorunludur. Eğer her bir kategori için birer kukla değişken (4 ve 3) tanımlansaydı, çalışma durumuna ait 4 kukla değişkenin (veya konut tipine ait 3 kukla değişkenin) her satırdaki toplamı daima 1 olurdu. Regresyonun tasarım matrisinde (XX), sabit terim için zaten sadece 1'lerden oluşan bir sütun mevcuttur. Sütunlar arasında ortaya çıkan bu tam doğrusal bağımlılık, (X′X)(X'X) matrisinin determinantını sıfır yapar (tekil matris) ve matrisin tersinin alınmasını matematiksel olarak imkânsız hâle getirir. Bu duruma kukla değişken tuzağı denir ve doğru seçenek bu mekanizmayı eksiksiz açıklamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Nitel değişkenlerin kategori sayılarını belirleyin.
Çalışma durumu m1=4m_1 = 4 kategoriye, konut tipi ise m2=3m_2 = 3 kategoriye sahiptir.
Kukla değişken sayısını hesaplamak için toplam kategori sayılarının bilinmesi gereklidir.
2
Sabit terim (β0\beta_0) içeren modeller için (m−1)(m-1) kuralını her iki değişkene uygulayın.
Çalışma durumu için (4−1)=3(4-1) = 3, konut tipi için (3−1)=2(3-1) = 2 kukla değişken oluşturulmalıdır. Toplam eklenecek değişken sayısı 5'tir.
Modelde sabit terim varsa, herhangi bir nitel değişkenin tüm kategorilerini kukla değişken olarak eklemek tam çoklu doğrusal bağlantıya yol açar.
3
Kukla değişken tuzağının matematiksel sonucunu analiz edin.
Eğer m1=4m_1 = 4 değişkenin tamamı modele dâhil edilirse, her bir gözlem için bu 4 değişkenin toplamı tam olarak 1'e eşit olacaktır. Bu durum, regresyon matrisindeki (X matrisi) birlerden oluşan sabit terim sütunu ile tam bir doğrusal bağımlılık yaratır.
Teorik gerekçenin EKK tahmincilerinin hesaplanabilirliğiyle olan ilişkisini kurmak içindir.
4
Doğrusal bağımlılığın (X′X)(X'X) matrisi üzerindeki etkisini değerlendirin.
Sütunları arasında tam doğrusal bir ilişki bulunan (X′X)(X'X) matrisinin determinantı sıfır olur ve matris tekil (singüler) hâle gelir. Bu durumda matrisin tersi olan (X′X)−1(X'X)^{-1} hesaplanamaz ve EKK tahmincileri elde edilemez.
Bu teorik durum, tüm kategorilerin dâhil edilmesinin neden sadece bir 'sapma' sorunu değil, çözümsüzlük sorunu olduğunu kanıtlar.

Anahtar Kavram

Kukla Değişken Tuzağı ve (m−1)(m-1) Kuralının Matris Cebirindeki Yeri
Bu soruyu puanla

Konular

Kukla Değişken Kavramı ve Oluşturulması