Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

Orman Genel Müdürlüğü tarafından yürütülen bir araştırmada, belirli bir bölgede bir ay içinde çıkan orman yangını sayısı λ\lambda parametreli Poisson dağılımına uygun olarak modellenmektedir. nn farklı bölgeden elde edilen rastgele örneklem X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_n ile gösterilmektedir.

Kurumun risk analizi raporunda, bir bölgede tam olarak 1 yangın çıkma olasılığı olan P(X=1)=λe−λP(X=1) = \lambda e^{-\lambda} parametrik fonksiyonunun en iyi yansız tahmini raporlanacaktır.

Buna göre, tam ve yeterli istatistik T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i olmak üzere, Lehmann-Scheffe teoremi kullanılarak elde edilen Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Tn(n−1n)T−1\frac{T}{n} \left( \frac{n-1}{n} \right)^{T-1}Cevap
  2. B
    Tne−T/n\frac{T}{n} e^{-T/n}
  3. C
    (n−1n)T\left( \frac{n-1}{n} \right)^T
  4. D
    T(n−1n)T−1T \left( \frac{n-1}{n} \right)^{T-1}
  5. E
    T−1n(n−1n)T\frac{T-1}{n} \left( \frac{n-1}{n} \right)^{T}

Cevap

Tn(n−1n)T−1\frac{T}{n} \left( \frac{n-1}{n} \right)^{T-1}
Lehmann-Scheffe teoremi uyarınca, λe−λ\lambda e^{-\lambda} için başlangıç yansız tahmin edicisi olarak W=I(X1=1)W = I(X_1=1) indikatör fonksiyonu tanımlanır. Bu fonksiyonun tam ve yeterli istatistik T=∑XiT = \sum X_i verildiğindeki koşullu beklenen değeri E[W∣T=t]=P(X1=1∣T=t)E[W \mid T = t] = P(X_1 = 1 \mid T=t) bize UMVUE'yi verir. Poisson toplamları koşulu altında marjinal dağılım Binom (t,1/n)(t, 1/n) olduğundan, hesaplama sonucu tn(n−1n)t−1\frac{t}{n} \left( \frac{n-1}{n} \right)^{t-1} çıkar. tt yerine istatistiğin kendisi olan TT yazıldığında doğru formüle ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
P(X=1)=λe−λP(X=1) = \lambda e^{-\lambda} için basit bir yansız tahmin edici (başlangıç tahmin edicisi) belirlemek.
W=I(X1=1)W = I(X_1 = 1) indikatör fonksiyonunu seçeriz. Eğer X1=1X_1 = 1 ise W=1W=1, aksi halde W=0W=0. Bu durumda E[W]=P(X1=1)=λe−λE[W] = P(X_1=1) = \lambda e^{-\lambda} olur.
Rao-Blackwell ve Lehmann-Scheffe teoremini uygulayabilmek için öncelikle parametrik fonksiyonun herhangi bir yansız tahmin edicisine ihtiyacımız vardır.
2
Tam ve yeterli istatistik verildiğinde, WW'nin bu istatistiğe göre koşullu beklenen değerini kurgulamak.
ϕ(T)=E[W∣T=t]=P(X1=1∣∑i=1nXi=t)\phi(T) = E[W \mid T = t] = P(X_1 = 1 \mid \sum_{i=1}^n X_i = t) hesaplanmalıdır.
Lehmann-Scheffe teoremine göre, yansız bir tahmin edicinin tam ve yeterli bir istatistiğe göre koşullu beklenen değeri tek (unique) UMVUE'dir.
3
X1X_1'in ∑Xi=t\sum X_i = t koşulu altındaki dağılımını belirlemek.
Poisson dağılımlı bağımsız değişkenlerin toplamı verildiğinde, tek bir değişkenin koşullu dağılımı Binom dağılımıdır. X1∣∑Xi=t∼Binom(t,1n)X_1 \mid \sum X_i = t \sim \text{Binom}(t, \frac{1}{n}).
Olasılık kütle fonksiyonlarının oranlanmasıyla P(X1=x∣∑Xi=t)=(tx)(1/n)x(1−1/n)t−xP(X_1 = x \mid \sum X_i = t) = \binom{t}{x} (1/n)^x (1 - 1/n)^{t-x} elde edilir.
4
Koşullu olasılığı x=1x = 1 için hesaplamak ve UMVUE'yi elde etmek.
P(X1=1∣T=t)=(t1)(1n)1(1−1n)t−1=tn(n−1n)t−1P(X_1 = 1 \mid T=t) = \binom{t}{1} \left(\frac{1}{n}\right)^1 \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{t-1} = \frac{t}{n} \left(\frac{n-1}{n}\right)^{t-1}. Dolayısıyla UMVUE: Tn(n−1n)T−1\frac{T}{n} \left(\frac{n-1}{n}\right)^{T-1} olarak bulunur.
Bulunan bu fonksiyon TT'ye bağlıdır ve Lehmann-Scheffe teoremine göre aranan en iyi yansız tahmin edicidir.

Anahtar Kavram

Poisson dağılımında tam ve yeterli istatistik kullanılarak koşullu beklenen değer yoluyla UMVUE elde edilmesi (Lehmann-Scheffe Teoremi).
Bu soruyu puanla

Konular

Tamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

Bu konudan daha fazla soru