Examkin

Soru

Zorluk: OrtaCramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı

Bir üretim hattında üretilen parçaların kusurlu olup olmadığı incelenmektedir. İlk kusurlu parça bulunana kadar geçen kusursuz parça sayısı XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX değişkeninin olasılık fonksiyonu, pp parçanın kusurlu olma olasılığını göstermek üzere aşağıdaki gibidir:

f(x;p)=p(1−p)x,x=0,1,2,…f(x; p) = p(1-p)^x, \quad x = 0, 1, 2, \dots

Bu kitleden alınan nn birimlik rastgele bir örneklem için kitlenin ortalaması olan g(p)=1−ppg(p) = \frac{1-p}{p} ifadesinin yansız bir tahmin edicisinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 1−pnp2\frac{1-p}{np^2}Cevap
  2. B
    1−pnp\frac{1-p}{np}
  3. C
    1np2\frac{1}{np^2}
  4. D
    1−pp2\frac{1-p}{p^2}
  5. E
    1−pn\frac{1-p}{n}

Cevap

1−pnp2\frac{1-p}{np^2} ifadesi, verilen geometrik dağılım parametresi için Cramer-Rao alt sınırını temsil eder.
Verilen olasılık fonksiyonu için Fisher bilgisi I(p)=1/[p2(1−p)]I(p) = 1/[p^2(1-p)] olarak hesaplanır. Tahmin edilmek istenen kitle ortalamasının türevi g′(p)=−1/p2g'(p) = -1/p^2 olduğundan, [g′(p)]2/[nI(p)][g'(p)]^2 / [n I(p)] işlemi sonucunda 1−pnp2\frac{1-p}{np^2} değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık fonksiyonunun logaritmasının alınması ve parametreye göre türevinin hesaplanması.
ln⁡f(x;p)=ln⁡p+xln⁡(1−p)⇒∂ln⁡f∂p=1p−x1−p\ln f(x; p) = \ln p + x \ln(1-p) \Rightarrow \frac{\partial \ln f}{\partial p} = \frac{1}{p} - \frac{x}{1-p}
Fisher bilgisi (Fisher Information) hesaplaması için skor fonksiyonunu elde etmek.
2
İkinci türevin alınması ve beklenen değerin hesaplanarak Fisher bilgisinin bulunması.
∂2ln⁡f∂p2=−1p2−x(1−p)2⇒I(p)=−E[−1p2−X(1−p)2]=1p2(1−p)\frac{\partial^2 \ln f}{\partial p^2} = -\frac{1}{p^2} - \frac{x}{(1-p)^2} \Rightarrow I(p) = -E\left[ -\frac{1}{p^2} - \frac{X}{(1-p)^2} \right] = \frac{1}{p^2(1-p)}
Tek bir gözlem için birim bilgi miktarını belirlemek (E[X]=1−ppE[X] = \frac{1-p}{p} olduğu kullanılmıştır).
3
Tahmin edilmek istenen g(p)=1−ppg(p) = \frac{1-p}{p} fonksiyonunun türevinin hesaplanması.
g′(p)=−1(p)−(1−p)(1)p2=−1p2g'(p) = \frac{-1(p) - (1-p)(1)}{p^2} = -\frac{1}{p^2}
Cramer-Rao eşitsizliğinin pay kısmındaki türev karesini bulmak.
4
Cramer-Rao alt sınır formülünün uygulanması.
CRLB=[g′(p)]2nI(p)=1/p4n⋅1p2(1−p)=1−pnp2CRLB = \frac{[g'(p)]^2}{n I(p)} = \frac{1/p^4}{n \cdot \frac{1}{p^2(1-p)}} = \frac{1-p}{np^2}
Yansız bir tahmin edicinin varyansı için teorik minimum sınırı belirlemek.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao eşitsizliği, yansız bir tahmin edicinin varyansının Fisher bilgisi ve tahmin edilen fonksiyonun türevi cinsinden alt sınırını belirler.

Daha Fazla Pratik

Aynı dağılım için pp parametresinin kendisi için Cramer-Rao alt sınırını hesaplayarak aradaki farkı gözlemleyiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Cramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru