Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorMonoton Olabilirlik Oranı (MLR)

Bir elektronik sistemde kullanılan belirli bir sensör tipinin arıza süresi XX (saat cinsinden) aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir:

f(x;θ)={θx2e−θxx>00dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} \frac{\theta}{x^2} e^{-\frac{\theta}{x}} & x > 0 \\ 0 & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Burada θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametredir. X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bu kitleye ait rastgele bir örneklem olmak üzere,

H0:θ≤θ0H_0: \theta \le \theta_0
H1:θ>θ0H_1: \theta > \theta_0

hipotezlerini test etmek istenmektedir. Karlin-Rubin teoremine göre, bu test için Düzgün En Güçlü (UMP) testin kritik bölgesi (red bölgesi) aşağıdakilerden hangisidir? (kk, anlamlılık düzeyine bağlı sabit bir sayıdır.)

  1. ∑i=1n1xi<k\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} < kCevap
  2. B
    ∑i=1n1xi>k\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} > k
  3. C
    ∑i=1nxi<k\sum_{i=1}^n x_i < k
  4. D
    ∑i=1nxi>k\sum_{i=1}^n x_i > k
  5. E
    ∏i=1nxi<k\prod_{i=1}^n x_i < k

Cevap

Düzgün En Güçlü (UMP) testin red bölgesi ∑i=1n1xi<k\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} < k eşitsizliği ile ifade edilir.
Örneklemin olabilirlik fonksiyonu L(θ)=θn(∏xi−2)exp⁡(−θ∑1xi)L(\theta) = \theta^n (\prod x_i^{-2}) \exp\left(-\theta \sum \frac{1}{x_i}\right) şeklindedir. θ2>θ1\theta_2 > \theta_1 için olabilirlik oranı L(θ2)L(θ1)∝exp⁡(−(θ2−θ1)∑1xi)\frac{L(\theta_2)}{L(\theta_1)} \propto \exp\left(-(\theta_2 - \theta_1) \sum \frac{1}{x_i}\right) olur. Burada (θ2−θ1)>0(\theta_2 - \theta_1) > 0 olduğundan ve üstel ifadede eksi işareti bulunduğundan, bu oran T(x)=−∑1xiT(\mathbf{x}) = -\sum \frac{1}{x_i} istatistiğinin monoton artan bir fonksiyonudur. Karlin-Rubin teoremine göre H1:θ>θ0H_1: \theta > \theta_0 için Düzgün En Güçlü (UMP) test, MLR istatistiğinin büyük değerlerinde red kararı verir (T(x)>cT(\mathbf{x}) > c). Eşitsizliği yerine yazdığımızda −∑1xi>c-\sum \frac{1}{x_i} > c ifadesi, ∑1xi<k\sum \frac{1}{x_i} < k (burada k=−ck=-c) biçimine dönüşür. Bu nedenle doğru red bölgesi bu eşitsizlikle ifade edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik (Likelihood) fonksiyonunu oluşturun.
L(θ;x)=θn(∏i=1nxi−2)exp⁡(−θ∑i=1n1xi)L(\theta; \mathbf{x}) = \theta^n (\prod_{i=1}^n x_i^{-2}) \exp\left(-\theta \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}\right) elde edilir.
Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğini incelemek için örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonuna ihtiyaç vardır.
2
θ2>θ1\theta_2 > \theta_1 varsayımı ile olabilirlik oranını (Likelihood Ratio) hesaplayın.
L(θ2)L(θ1)∝exp⁡(−(θ2−θ1)∑i=1n1xi)\frac{L(\theta_2)}{L(\theta_1)} \propto \exp\left(-(\theta_2 - \theta_1) \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}\right) bulunur.
Dağılım ailesinin hangi istatistiğe göre monoton olabilirlik oranına (MLR) sahip olduğunu belirlemek için bu oran yazılmalıdır.
3
Oranın monoton artan olduğu T(x)T(\mathbf{x}) istatistiğini belirleyin.
(θ2−θ1)>0(\theta_2 - \theta_1) > 0 olduğundan ve üstel ifadedeki negatif katsayı nedeniyle, oran T(x)=−∑i=1n1xiT(\mathbf{x}) = -\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} istatistiğinin monoton artan bir fonksiyonudur.
Karlin-Rubin teoremini uygulayabilmek için oranın artan olduğu T(x)T(\mathbf{x}) istatistiğinin tam ve doğru tanımlanması şarttır.
4
Karlin-Rubin teoremine göre kritik bölgeyi (red bölgesi) oluşturun.
H1:θ>θ0H_1: \theta > \theta_0 için UMP test T(x)>cT(\mathbf{x}) > c olduğunda reddeder. Buradan −∑i=1n1xi>c  ⟹  ∑i=1n1xi<k-\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} > c \implies \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} < k sonucuna varılır.
Sağ kuyruk testlerinde red bölgesi TT istatistiğinin büyük değerleridir. Ancak istatistik tanımındaki eksi işaretinden dolayı nihai eşitsizlik yön değiştirir.

Anahtar Kavram

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) ve Karlin-Rubin Teoremi ile UMP Testi
Bu soruyu puanla

Konular

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)

Bu konudan daha fazla soru