Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİki Gruplu Diskriminant Analizi (Fisher'in Doğrusal Ayırma Fonksiyonu)

Bir ziraat mühendisi, tarlaları verimlilik düzeylerine göre 'Yüksek Verimli' (Grup 1) ve 'Düşük Verimli' (Grup 2) olarak ikiye ayırmak amacıyla bir çalışma yürütmektedir. Analizde kullanılan temel değişkenler X1X_1 (topraktaki azot miktarı) ve X2X_2 (yıllık yağış miktarı) olup, gruplara ait ortalama vektörleri ve ortak varyans-kovaryans matrisi şu şekilde elde edilmiştir:

xˉ1=[510],xˉ2=[27],Sortak=[4224]\bar{x}_1 = \begin{bmatrix} 5 \\ 10 \end{bmatrix}, \quad \bar{x}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 7 \end{bmatrix}, \quad S_{ortak} = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

Buna göre, Fisher'in doğrusal ayırma fonksiyonu (LDF) için hesaplanan katsayılar vektörü (aa) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. [0,50,5]T[0,5 \quad 0,5]^TCevap
  2. B
    [0,750,75]T[0,75 \quad 0,75]^T
  3. C
    [1,01,0]T[1,0 \quad 1,0]^T
  4. D
    [0,5−0,5]T[0,5 \quad -0,5]^T
  5. E
    [3,03,0]T[3,0 \quad 3,0]^T

Cevap

Fisher'in doğrusal ayırma fonksiyonu katsayılar vektörü [0,50,5]T[0,5 \quad 0,5]^T olarak hesaplanır.
Katsayılar vektörü [0,50,5]T[0,5 \quad 0,5]^T doğrudur çünkü Fisher'in yöntemi uyarınca ortalama farkları vektörü, ortak varyans-kovaryans matrisinin tersi ile çarpılmıştır. Bu işlem sonucunda her iki değişken için de 0,5 katsayısı elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Grupların ortalama vektörleri arasındaki farkı hesaplayın.
d=xˉ1−xˉ2=[5−210−7]=[33]d = \bar{x}_1 - \bar{x}_2 = \begin{bmatrix} 5-2 \\ 10-7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix}
Ayırma fonksiyonu, gruplar arasındaki farkı maksimize eden bir doğrusal kombinasyon bulmayı amaçlar.
2
Ortak varyans-kovaryans matrisinin (SortakS_{ortak}) tersini hesaplayın.
∣S∣=(4×4)−(2×2)=12|S| = (4 \times 4) - (2 \times 2) = 12 ve S−1=112[4−2−24]S^{-1} = \frac{1}{12} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 4 \end{bmatrix}
Fisher yönteminde değişkenlerin varyans ve kovaryans yapılarına göre ağırlıklandırılması için matris tersi gereklidir.
3
a=S−1da = S^{-1} d çarpımını gerçekleştirerek katsayıları bulun.
a=112[4−2−24][33]=112[12−6−6+12]=[0,50,5]a = \frac{1}{12} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{12} \begin{bmatrix} 12-6 \\ -6+12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0,5 \\ 0,5 \end{bmatrix}
Elde edilen vektör, grupları en iyi ayıran doğrusal fonksiyonun katsayılarını verir.

Anahtar Kavram

Fisher'in Doğrusal Ayırma Fonksiyonu Katsayıları

İpuçları

1
Fisher'in doğrusal ayırma fonksiyonu için temel formülün a=Sortak−1(xˉ1−xˉ2)a = S_{ortak}^{-1}(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) olduğunu hatırlayın.
2
Önce [4,2;2,4][4, 2; 2, 4] matrisinin tersini bulun. 2×22 \times 2 bir matrisin tersi için determinantı hesaplayıp, esas köşegen elemanlarının yerini değiştirip diğerlerinin işaretini ters çevirmelisiniz.

Daha Fazla Pratik

Elde edilen bu katsayıları kullanarak her iki grup için diskriminant skorlarının ortalamasını (kesme noktası) hesaplamayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

İki Gruplu Diskriminant Analizi (Fisher'in Doğrusal Ayırma Fonksiyonu)

Bu konudan daha fazla soru