Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDüzgün En Güçlü (UMP) Testler

Bir elektronik bileşenin ömrü (XX), biçim parametresi α=3\alpha = 3 (biliniyor) ve ölçek parametresi θ>0\theta > 0 olmak üzere aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip bir Gamma dağılımına uymaktadır:

f(x;θ)=12θ3x2e−x/θ,x>0f(x; \theta) = \frac{1}{2\theta^3} x^2 e^{-x/\theta}, \quad x > 0

Bileşenlerin ortalama ömrünün hedeflenen bir θ0\theta_0 değerinden daha düşük olup olmadığını test etmek amacıyla H0:θ≥θ0H_0: \theta \geq \theta_0 yokluk hipotezine karşı H1:θ<θ0H_1: \theta < \theta_0 alternatif hipotezi kurulmuştur. nn birimlik bağımsız ve tesadüfi bir örneklem için bu testin düzgün en güçlü (UMP) reddetme bölgesi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. ∑i=1nXi<k\sum_{i=1}^n X_i < kCevap
  2. B
    ∑i=1nXi>k\sum_{i=1}^n X_i > k
  3. C
    ∏i=1nXi<k\prod_{i=1}^n X_i < k
  4. D
    ∑i=1nXi2<k\sum_{i=1}^n X_i^2 < k
  5. E
    Bu hipotez yapısı için düzgün en güçlü (UMP) test mevcut değildir.

Cevap

Düzgün en güçlü (UMP) reddetme bölgesi, gözlemlerin toplamının belirli bir kritik değerden küçük olduğu ∑i=1nXi<k\sum_{i=1}^n X_i < k bölgesidir.
Gamma dağılımı tek parametreli üstel aileye aittir ve yeterli istatistik olan T=∑XiT = \sum X_i üzerinde artan monoton olabilirlik oranına (MLR) sahiptir. Karlin-Rubin Teoremi'ne göre, MLR özelliği sağlandığında sol yönlü alternatif hipotezler (H1:θ<θ0H_1: \theta < \theta_0) için UMP testi, yeterli istatistiğin küçük değerlerinin seçildiği T<kT < k bölgesinde kurulur.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik fonksiyonunu ve yeterli istatistiği belirlemek
L(θ)=1(2θ3)n(∏xi)2e−∑xi/θL(\theta) = \frac{1}{(2\theta^3)^n} (\prod x_i)^2 e^{-\sum x_i / \theta}
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uyarınca T=∑XiT = \sum X_i istatistiğinin θ\theta için yeterli istatistik olduğu görülür.
2
Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğini kontrol etmek
θ2>θ1\theta_2 > \theta_1 için L(θ2)L(θ1)=(θ1θ2)3ne−(∑xi)(1θ2−1θ1)\frac{L(\theta_2)}{L(\theta_1)} = (\frac{\theta_1}{\theta_2})^{3n} e^{-(\sum x_i)(\frac{1}{\theta_2} - \frac{1}{\theta_1})} oranı T=∑XiT = \sum X_i değerinin artan bir fonksiyonudur.
θ2>θ1\theta_2 > \theta_1 olduğunda (1θ2−1θ1)<0(\frac{1}{\theta_2} - \frac{1}{\theta_1}) < 0 olur, bu da üssün pozitif bir katsayı ile TT ile çarpılmasına neden olarak oranı monoton artan yapar.
3
Karlin-Rubin teoremini uygulamak
H1:θ<θ0H_1: \theta < \theta_0 için reddetme bölgesi T<kT < k şeklindedir.
Oran TT ile artan olduğundan, parametrenin azaldığı yöndeki (H1:θ<θ0H_1: \theta < \theta_0) en güçlü test istatistiğin küçük değerlerini seçer.

Anahtar Kavram

Karlin-Rubin Teoremi ve Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)

Daha Fazla Pratik

Benzer bir analizi, varyansı bilinen bir Normal dağılımda kitlenin ortalaması için yaparak reddetme bölgesinin yönünü karşılaştırınız.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Düzgün En Güçlü (UMP) Testler

Bu konudan daha fazla soru