Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEn Çok Olabilirlik Yöntemi (Maximum Likelihood Estimation)

Bir çevre araştırma enstitüsünde, belirli bir göl suyundaki mikroplastik yoğunluğu ölçülmektedir. X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele değişkenleri, alınan su örneklerindeki yoğunluk oranlarını temsil etmekte olup, değer kümesi (0,1)(0, 1) aralığında olan ve olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x;θ)=θxθ−1,0<x<1,θ>0f(x; \theta) = \theta x^{\theta-1}, \quad 0 < x < 1, \quad \theta > 0

şeklinde verilen bağımsız ve özdeş dağılımlı (i.i.d.) bir kitleden alınmış rastgele bir örneklemdir.

Araştırmacılar, bu göldeki mikroplastik yoğunluk oranının beklenen değerini (kitle ortalamasını) en çok olabilirlik yöntemiyle tahmin etmek istemektedir.

Buna göre, kitle ortalamasının en çok olabilirlik tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. nn−∑i=1nln⁡Xi\frac{n}{n - \sum_{i=1}^n \ln X_i}Cevap
  2. B
    nn+∑i=1nln⁡Xi\frac{n}{n + \sum_{i=1}^n \ln X_i}
  3. C
    −n∑i=1nln⁡Xi-\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i}
  4. D
    1n∑i=1nXi\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i
  5. E
    n−∑i=1nln⁡Xin\frac{n - \sum_{i=1}^n \ln X_i}{n}

Cevap

nn−∑i=1nln⁡Xi\frac{n}{n - \sum_{i=1}^n \ln X_i} formülü, kitle ortalamasının en çok olabilirlik tahmin edicisidir.
Verilen dağılımda kitle ortalaması E(X)=θθ+1E(X) = \frac{\theta}{\theta+1}'dir. En çok olabilirlik yöntemi kullanılarak log-olabilirlik fonksiyonunun maksimize edilmesiyle θ\theta'nın tahmin edicisi θ^=−n∑ln⁡Xi\hat{\theta} = -\frac{n}{\sum \ln X_i} olarak bulunur. Tahmin edicilerin değişmezlik (invariance) prensibi gereği, kitle ortalamasının tahmin edicisi E(X)^=θ^θ^+1\widehat{E(X)} = \frac{\hat{\theta}}{\hat{\theta}+1} yapısına sahiptir. Formülde yerine yazılıp payda eşitlendiğinde doğru cevap nn−∑i=1nln⁡Xi\frac{n}{n - \sum_{i=1}^n \ln X_i} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kitlenin beklenen değerini (kitle ortalamasını) θ\theta cinsinden hesaplayın.
E(X)=∫01x⋅f(x;θ)dx=∫01x⋅θxθ−1dx=θ∫01xθdx=θ[xθ+1θ+1]01=θθ+1E(X) = \int_0^1 x \cdot f(x; \theta) dx = \int_0^1 x \cdot \theta x^{\theta-1} dx = \theta \int_0^1 x^\theta dx = \theta \left[ \frac{x^{\theta+1}}{\theta+1} \right]_0^1 = \frac{\theta}{\theta+1} bulunur.
Değişmezlik özelliğini kullanabilmek için öncelikle tahmin edilmek istenen parametrik fonksiyonun açık yapısı bilinmelidir.
2
Örneklemin olabilirlik ve log-olabilirlik fonksiyonlarını yazın.
L(θ)=∏i=1nθxiθ−1=θn∏i=1nxiθ−1L(\theta) = \prod_{i=1}^n \theta x_i^{\theta-1} = \theta^n \prod_{i=1}^n x_i^{\theta-1}. Logaritması alındığında: ln⁡L(θ)=nln⁡θ+(θ−1)∑i=1nln⁡xi\ln L(\theta) = n \ln \theta + (\theta-1) \sum_{i=1}^n \ln x_i elde edilir.
En çok olabilirlik tahmin edicisini (MLE) bulmak için olabilirlik fonksiyonunu maksimize etmek, bunun için de fonksiyonun logaritmasını alarak türev işlemlerini kolaylaştırmak gerekir.
3
Log-olabilirlik fonksiyonunun θ\theta'ya göre türevini alıp sıfıra eşitleyerek θ^\hat{\theta} tahmin edicisini bulun.
∂ln⁡L(θ)∂θ=nθ+∑i=1nln⁡xi=0  ⟹  θ^=−n∑i=1nln⁡xi\frac{\partial \ln L(\theta)}{\partial \theta} = \frac{n}{\theta} + \sum_{i=1}^n \ln x_i = 0 \implies \hat{\theta} = -\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln x_i} olarak bulunur.
Bir fonksiyonun maksimum noktasını bulmanın standart analitik yolu, birinci türevini sıfıra eşitlemektir.
4
En çok olabilirlik tahmin edicilerinin değişmezlik (invariance) özelliğini uygulayın.
E(X)^=θ^θ^+1\widehat{E(X)} = \frac{\hat{\theta}}{\hat{\theta}+1} eşitliğinde θ^\hat{\theta} yerine konulur: −n∑ln⁡xi−n∑ln⁡xi+1=−n∑ln⁡xi−n+∑ln⁡xi∑ln⁡xi=−n−n+∑i=1nln⁡xi=nn−∑i=1nln⁡Xi\frac{-\frac{n}{\sum \ln x_i}}{-\frac{n}{\sum \ln x_i} + 1} = \frac{-\frac{n}{\sum \ln x_i}}{\frac{-n + \sum \ln x_i}{\sum \ln x_i}} = \frac{-n}{-n + \sum_{i=1}^n \ln x_i} = \frac{n}{n - \sum_{i=1}^n \ln X_i} elde edilir.
Değişmezlik özelliği, bir τ(θ)\tau(\theta) fonksiyonunun en çok olabilirlik tahmin edicisinin, τ(θ^)\tau(\hat{\theta}) olduğunu ifade eder.

Anahtar Kavram

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Değişmezlik (Invariance) Özelliği
Bu soruyu puanla

Konular

En Çok Olabilirlik Yöntemi (Maximum Likelihood Estimation)

Bu konudan daha fazla soru