İstatistiksel modellemede rastgele olayların zaman veya mekân içindeki evrimini inceleyen … — KPSS İstatistik

İstatistiksel modellemede rastgele olayların zaman veya mekân içindeki evrimini inceleyen stokastik süreçler, yapısal özelliklerine ve parametre kümelerine göre sınıflandırılırlar.

Buna göre, stokastik süreçlerin temel kavramları ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A
Sürekli zamanlı bir stokastik sürecin matematiksel olarak tanımlanabilmesi için, sürecin durum uzayının ( $S$ ) da zorunlu olarak sürekli bir aralık formunda olması gerekir.
B
Bir sürecin bağımsız artışlara (independent increments) sahip olması, kesişmeyen zaman aralıklarındaki durum değişim olaylarının bağımsız olmasını, dolayısıyla olasılık teorisi gereği bu olayların ayrık (kesişimi boş) olaylar olmasını gerektirir.
Durum uzayı ( $S$ ) ve zaman parametresi kümesi ( $T$ ) birbirlerinden bağımsız olarak kesikli veya sürekli formda tanımlanabilir; belirli bir $\omega \in \Omega$ için sürecin zamana bağlı gerçekleşmesine ise örneklem fonksiyonu (örneklem yolu) denir.Cevap
D
Sabit bir $t_0 \in T$ anı için stokastik süreç değerlendirildiğinde, $X(t_0)$ rastgele değişken olma özelliğini kaybeder ve örnek uzaydan ( $\Omega$ ) bağımsız, tek bir deterministik sayısal değere dönüşür.
E
Örnek uzaydan seçilen belirli bir $\omega \in \Omega$ sonucu sabit tutulduğunda, $X(t, \omega)$ 'nın zaman parametresi $t \in T$ 'ye göre çizilen grafiğine sürecin durum uzayı ( $S$ ) adı verilir.

Cevap

Durum uzayı ve zaman parametresi kümesinin bağımsız olarak yapılandırılabileceğini ve belirli bir sonucun zamana bağlı gerçekleşmesine örneklem fonksiyonu denildiğini belirten ifadedir.

Stokastik süreçlerin en temel mimarisinde durum uzayı (

S

) ve zaman parametresi kümesi (

T

) yapısal olarak birbirine bağımlı değildir. İstisnasız dört olası kombinasyon da (Kesikli-Kesikli, Kesikli-Sürekli, Sürekli-Kesikli, Sürekli-Sürekli) mümkündür. Ayrıca bir süreç rastgele olaylar (

\omega \in \Omega

) ve zaman (

t \in T

) olmak üzere iki değişkene bağlıdır. Olay (

\omega

) gerçekleşip sabitlendiğinde geriye sadece zamanın fonksiyonu kalır; bu fonksiyona sürecin o olay için izlediği güzergah anlamına gelen 'örneklem fonksiyonu' veya 'örneklem yolu' denir.

Adım Adım Çözüm

Durum uzayı (

S

) ile zaman parametresi kümesinin (

T

) ilişkisini analiz et.

S

T

birbirinden bağımsızdır. Sürekli zamanlı-kesikli durumlu (örn. Poisson süreci) veya kesikli zamanlı-sürekli durumlu seriler oluşturulabilir.

Zamanın sürekli akması, değişkenin aldığı değerlerin de aralıksız olmasını gerektirmez.

Bağımsız artışlı süreçlerdeki 'bağımsızlık' ve 'ayrıklık' kavramlarını incele.

Bağımsızlık

P(A \cap B) = P(A)P(B)

anlamına gelirken, ayrıklık

P(A \cap B) = 0

demektir. Bağımsız artışlar ayrık olayları zorunlu kılmaz, aksine dışlar.

Kavramsal hataları elemek için olasılık aksiyomlarındaki temel farklar hatırlanmalıdır.

Rastgele değişken ve örneklem fonksiyonu (sample path) kavramlarını ayırt et.

Zaman (

t

) sabitlenirse

X(t)

bir rastgele değişken olur. Örnek uzay (

\omega

) sabitlenirse, zamanın bir fonksiyonu olan örneklem yolu elde edilir.

Sürecin

\Omega \times T

üzerindeki iki boyutlu doğasını kavramak içindir.

Seçenekleri bu bilgiler ışığında değerlendir.

Sadece

S

T

'nin kombinasyon bağımsızlığını ve örneklem yolunun tanımını doğru veren ifade geçerlidir.

Diğer seçeneklerde deterministik değişken, ayrıklık ve durum uzayı tanımlarında bilerek kavramsal hatalar yapılmıştır.

Anahtar Kavram

Stokastik Süreçlerin Temel Parametreleri (

S

T

) ve Fonksiyonel Doğası

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru