Examkin

Soru

Zorluk: Orta(M/M/c) Çok Kanallı ve Sonsuz Kapasiteli Model

Bir kamu kurumunun evrak kayıt biriminde 2 adet banko (kanal) hizmet vermektedir. Sisteme evrak kayıt yaptırmak için gelen vatandaşların varışları saatte ortalama 4 kişi (lambda=4\\lambda=4) olacak şekilde Poisson dağılımına uygundur. Her bir banko görevlisinin bir vatandaşın işlemini tamamlama süresi ortalama 15 dakikadır ve üstel dağılım göstermektedir.

Buna göre, sonsuz kuyruk kapasitesine sahip bu (M/M/2)(M/M/2) sisteminde, bir vatandaşın kuyrukta bekleyeceği ortalama süre (WqW_q) kaç dakikadır?

  1. 5Cevap
  2. B
    7,5
  3. C
    10
  4. D
    15
  5. E
    20

Cevap

Vatandaşın kuyrukta bekleyeceği ortalama süre 5 dakikadır.
Verilen parametrelere göre sistemin boş olma olasılığı 1/31/3 ve kuyruktaki ortalama kişi sayısı 1/31/3 olarak bulunur. Little teoremi uyarınca bu uzunluk varış hızına bölündüğünde bekleme süresi 1/121/12 saat, yani 5 dakika olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parametreleri belirleyin ve sistemin kararlılığını kontrol edin.
lambda=4\\lambda = 4 kişi/saat, mu=60/15=4\\mu = 60/15 = 4 kişi/saat, c=2c = 2. Trafik yoğunluğu rho=fraclambdactimesmu=frac42times4=0,5\\rho = \\frac{\\lambda}{c \\times \\mu} = \\frac{4}{2 \\times 4} = 0,5.
rho<1\\rho < 1 olduğu için sistem dengededir ve performans ölçütleri hesaplanabilir.
2
Sistemin boş olma olasılığını (P0P_0) hesaplayın.
P0=left[frac(4/4)00!+frac(4/4)11!+frac(4/4)22!(1−0,5)right]−1=left[1+1+frac12times0,5right]−1=frac13P_0 = \\left[ \\frac{(4/4)^0}{0!} + \\frac{(4/4)^1}{1!} + \\frac{(4/4)^2}{2!(1-0,5)} \\right]^{-1} = \\left[ 1 + 1 + \\frac{1}{2 \\times 0,5} \\right]^{-1} = \\frac{1}{3}.
Çok kanallı modellerde tüm bekleme süresi ve uzunluk hesaplamaları P0P_0 değerine bağlıdır.
3
Kuyruktaki ortalama müşteri sayısını (LqL_q) hesaplayın.
Lq=fracP0times(lambda/mu)ctimesrhoc!times(1−rho)2=frac(1/3)times12times0,52!times(0,5)2=frac1/60,5=frac13L_q = \\frac{P_0 \\times (\\lambda/\\mu)^c \\times \\rho}{c! \\times (1-\\rho)^2} = \\frac{(1/3) \\times 1^2 \\times 0,5}{2! \\times (0,5)^2} = \\frac{1/6}{0,5} = \\frac{1}{3} kişi.
Kuyrukta bekleme süresine (WqW_q) geçebilmek için önce kuyruk uzunluğu bulunmalıdır.
4
Little teoremini kullanarak kuyrukta bekleme süresini (WqW_q) dakika cinsinden bulun.
Wq=fracLqlambda=frac1/34=frac112W_q = \\frac{L_q}{\\lambda} = \\frac{1/3}{4} = \\frac{1}{12} saat rightarrowfrac112times60=5\\rightarrow \\frac{1}{12} \\times 60 = 5 dakika.
Hesaplanan süre saat birimindedir, soruda istenen dakika birimine çevrilmelidir.

Anahtar Kavram

(M/M/c) Çok Kanallı Kuyruk Modeli Performans Analizi

Daha Fazla Pratik

Eğer sistemde 3 banko olsaydı bekleme süresinin nasıl değişeceğini hesaplayarak kapasite artırımının etkisini inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

(M/M/c) Çok Kanallı ve Sonsuz Kapasiteli Model

Bu konudan daha fazla soru