Examkin

Soru

Zorluk: Orta(M/M/c) Çok Kanallı ve Sonsuz Kapasiteli Model

Bir vergi dairesinde hizmet veren 2 vezne bulunmaktadır. Müşterilerin bu daireye varış süreci saatte ortalama 44 kişi olacak şekilde Poisson dağılımına, her bir veznenin hizmet süresi ise ortalama 2020 dakika olacak şekilde Üstel dağılıma uygundur. Buna göre, bu kuyruk sisteminde bir müşterinin kuyrukta bekleyeceği ortalama süre (WqW_q) kaç dakikadır?

  1. A
    12
  2. 16Cevap
  3. C
    20
  4. D
    24
  5. E
    36

Cevap

Bir müşterinin kuyrukta bekleyeceği ortalama süre 16 dakikadır.
Verilen parametrelerle (λ=4,μ=3,c=2\lambda=4, \mu=3, c=2) sistemin boş olma olasılığı P0=0,2P_0 = 0,2 olarak bulunur. Bu değer kullanılarak kuyrukta bekleyen ortalama müşteri sayısı Lq=16/15L_q = 16/15 elde edilir. Little Yasası (Wq=Lq/λW_q = L_q / \lambda) uygulandığında bekleme süresi 4/154/15 saat, yani 1616 dakika olarak hesaplanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Sistem parametrelerini belirle ve kararlılık kontrolü yap.
λ=4\lambda = 4 kişi/saat, μ=3\mu = 3 kişi/saat (60/2060/20), c=2c = 2. Sistem yoğunluğu ρ=λc⋅μ=42⋅3=23<1\rho = \frac{\lambda}{c \cdot \mu} = \frac{4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{3} < 1.
Sistemin kararlı olup olmadığını ve formüllerde kullanılacak temel hızları saptamak için.
2
Sistemin boş olma olasılığını (P0P_0) hesapla.
P0=[∑n=01(4/3)nn!+(4/3)22!(11−2/3)]−1=[1+4/3+8/3]−1=[5]−1=0,2P_0 = [\sum_{n=0}^{1} \frac{(4/3)^n}{n!} + \frac{(4/3)^2}{2!} (\frac{1}{1 - 2/3})]^{-1} = [1 + 4/3 + 8/3]^{-1} = [5]^{-1} = 0,2.
Çok kanallı kuyruk modellerinde tüm performans ölçütleri bu temel olasılığa bağlıdır.
3
Kuyruktaki ortalama müşteri sayısını (LqL_q) hesapla.
Lq=P0(λ/μ)cρc!(1−ρ)2=0,2⋅(4/3)2⋅(2/3)2⋅(1/3)2=32/1352/9=1615L_q = \frac{P_0 (\lambda/\mu)^c \rho}{c! (1 - \rho)^2} = \frac{0,2 \cdot (4/3)^2 \cdot (2/3)}{2 \cdot (1/3)^2} = \frac{32/135}{2/9} = \frac{16}{15} kişi.
Bekleme süresine geçiş yapabilmek için önce kuyruk uzunluğunun bulunması gerekir.
4
Little Yasası ile ortalama bekleme süresini (WqW_q) bul ve dakikaya çevir.
Wq=Lq/λ=(16/15)/4=4/15W_q = L_q / \lambda = (16/15) / 4 = 4/15 saat. Dakika cinsinden: 4/15⋅60=164/15 \cdot 60 = 16 dakika.
İstenen birim olan dakika cinsinden nihai sonucu elde etmek için.

Anahtar Kavram

M/M/c modelinde sistem karakteristikleri ve Little Yasası uygulaması
Bu soruyu puanla

Konular

(M/M/c) Çok Kanallı ve Sonsuz Kapasiteli Model

Bu konudan daha fazla soru