Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

Bir istatistiksel araştırmada, bilinmeyen bir θ>0\theta > 0 parametresinin tahmini için rassal bir örneklem üzerinden TnT_n tahmin edicisi geliştirilmiştir. TnT_n tahmin edicisinin olasılık dağılımının, örneklem hacmi nn'ye bağlı olarak aşağıdaki gibi olduğu bilinmektedir:

P(Tn=θ)=1−1nP(T_n = \theta) = 1 - \frac{1}{n}
P(Tn=n2)=1nP(T_n = n^2) = \frac{1}{n}

Buna göre, örneklem hacmi sonsuza giderken (n→∞n \to \infty) TnT_n tahmin edicisinin asimptotik özellikleri (tutarlılık, yansızlık ve hata kareler ortalaması) hakkında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. TnT_n tahmin edicisi θ\theta için tutarlıdır, ancak asimptotik olarak yansız değildir ve Hata Kareler Ortalaması (MSE) sonsuza ıraksar.Cevap
  2. B
    Hata Kareler Ortalaması (MSE) sıfıra yakınsamadığı için, TnT_n tahmin edicisinin tutarlı olması teorik olarak mümkün değildir.
  3. C
    TnT_n asimptotik olarak yansız olmadığından, olasılıkta yakınsama şartını sağlayamaz ve tutarsız bir tahmin edicidir.
  4. D
    Örneklem hacmi sonsuza giderken TnT_n'nin θ\theta'ya eşit olma olasılığı 1'e yakınsadığı için, tahmin edici hem tutarlı hem de asimptotik yansızdır.
  5. E
    TnT_n'nin varyansı nn büyüdükçe sıfıra yakınsar ancak yan miktarı sonsuza gittiği için tahmin edici tutarsızdır.

Cevap

TnT_n tutarlı bir tahmin edicidir ancak asimptotik olarak yansız değildir ve MSE değeri sonsuza ıraksar.
Doğru yanıt olan ifadede, tutarlılığın olasılıkta yakınsama üzerinden gerçekleştiği, ancak beklentinin ve MSE'nin sonsuza ıraksadığı kusursuz biçimde özetlenmiştir. Tutarlılık için lim⁡n→∞P(∣Tn−θ∣>ϵ)=0\lim_{n \to \infty} P(|T_n - \theta| > \epsilon) = 0 olmalıdır. Soru kökündeki dağılımda bu olasılık doğrudan 1n\frac{1}{n}'dir ve sıfıra gider. Bu yüzden TnT_n tutarlıdır. Ancak E(Tn)=θ−θn+nE(T_n) = \theta - \frac{\theta}{n} + n limit durumunda sonsuza gider. Dolayısıyla asimptotik yansız değildir ve MSE sonsuza ıraksar.

Adım Adım Çözüm

1
Tutarlılık (Olasılıkta Yakınsama) kontrolü yapılır.
Her ϵ>0\epsilon > 0 için lim⁡n→∞P(∣Tn−θ∣>ϵ)=lim⁡n→∞P(Tn=n2)=lim⁡n→∞1n=0\lim_{n \to \infty} P(|T_n - \theta| > \epsilon) = \lim_{n \to \infty} P(T_n = n^2) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 bulunur.
Tutarlılığın tanımı gereği, tahmin edicinin gerçek parametreden sapma olasılığının asimptotik olarak sıfır olması gerekir. Bu şart sağlandığı için TnT_n tutarlıdır.
2
Asimptotik yansızlık için beklenen değer E(Tn)E(T_n) hesaplanır.
E(Tn)=θ(1−1n)+n2(1n)=θ−θn+nE(T_n) = \theta(1 - \frac{1}{n}) + n^2(\frac{1}{n}) = \theta - \frac{\theta}{n} + n. Limit alındığında lim⁡n→∞E(Tn)=∞\lim_{n \to \infty} E(T_n) = \infty olur.
Yansızlık incelemesi için istatistiğin beklenen değeri hesaplanmalıdır. Sonuç sonsuza gittiği için tahmin edici asimptotik yansız değildir.
3
Hata Kareler Ortalaması (MSE) hesaplanır.
MSE(Tn)=E[(Tn−θ)2]=02(1−1n)+(n2−θ)2(1n)=(n2−θ)2nMSE(T_n) = E[(T_n - \theta)^2] = 0^2(1 - \frac{1}{n}) + (n^2 - \theta)^2(\frac{1}{n}) = \frac{(n^2 - \theta)^2}{n}. Limit alındığında lim⁡n→∞MSE(Tn)=∞\lim_{n \to \infty} MSE(T_n) = \infty elde edilir.
Tutarlılık ve yansızlık arasındaki teorik farkı göstermek adına MSE değerinin asimptotik davranışını bilmek gerekir. MSE sıfıra gitmese bile tahmin edici tutarlı olabilir.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE) ile Tutarlılık Arasındaki İlişki ve Olasılıkta Yakınsama
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

Bu konudan daha fazla soru