Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEn Küçük Kareler Yöntemi (Least Squares Estimation)

Bir büyükşehir belediyesi, hizmet verdiği ilçelerin nüfus yoğunluğu (XX, bin kişi/km 2^2) ile kişi başına düşen aylık ortalama su tüketim miktarı (YY, ton) arasındaki ilişkiyi modellemek istemektedir. Kurulan basit doğrusal regresyon modeli Yi=β0+β1Xi+ϵiY_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i şeklindedir; burada ϵi\epsilon_i hata terimidir. Modelin parametreleri, normal denklemler kullanılarak en küçük kareler yöntemi ile tahmin edilecektir. Toplanan veri setine ait özet istatistikler aşağıda verilmiştir:

∑i=1n(Xi−Xˉ)2=40 \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 = 40
∑i=1n(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)=−20 \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) = -20
Xˉ=5,Yˉ=10 \bar{X} = 5, \quad \bar{Y} = 10

Buna göre, elde edilen en küçük kareler tahmin denklemine dayanarak, nüfus yoğunluğu X=7X = 7 olan bir ilçenin tahmini ortalama su tüketim miktarı (Y^\hat{Y}) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    4.0
  2. B
    6.0
  3. C
    6.5
  4. 9.0Cevap
  5. E
    11.0

Cevap

9.0
En küçük kareler (EKK) yönteminde regresyon doğrusunun eğim parametresi β^1\hat{\beta}_1, çapraz çarpımlar toplamının XX'in sapma kareler toplamına bölünmesiyle hesaplanır ve −2040=−0.5\frac{-20}{40} = -0.5 olarak bulunur. Tahmin doğrusu her zaman örneklem ortalamalarından geçeceği için kesişim terimi β^0=Yˉ−β^1Xˉ\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X} şeklinde yazılır. Değerler yerine konulduğunda β^0=10−(−0.5)(5)=12.5\hat{\beta}_0 = 10 - (-0.5)(5) = 12.5 olur. Elde edilen tahmin denklemi Y^=12.5−0.5X\hat{Y} = 12.5 - 0.5X olarak biçimlenir. Verilen X=7X = 7 değeri bu denklemde yerine yazıldığında, Y^=12.5−3.5=9.0\hat{Y} = 12.5 - 3.5 = 9.0 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
En küçük kareler yöntemi ile regresyon doğrusunun eğimini (β^1\hat{\beta}_1) hesapla.
β^1=∑(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)∑(Xi−Xˉ)2=−2040=−0.5\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2} = \frac{-20}{40} = -0.5
Normal denklemlerden elde edilen eğim formülü, ortak değişimin (kovaryansın) bağımsız değişkenin varyansına (sapma kareler toplamına) oranıdır.
2
Regresyon doğrusunun kesişim (sabit) terimini (β^0\hat{\beta}_0) hesapla.
β^0=Yˉ−β^1Xˉ=10−(−0.5)(5)=10+2.5=12.5\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X} = 10 - (-0.5)(5) = 10 + 2.5 = 12.5
En küçük kareler regresyon doğrusu her zaman (Xˉ,Yˉ)(\bar{X}, \bar{Y}) örneklem ortalamaları noktasından geçmek zorundadır.
3
Bulunan parametreleri regresyon denklemine yerleştirerek X=7X = 7 için tahmini değeri (Y^\hat{Y}) bul.
Y^=12.5−0.5(7)=12.5−3.5=9.0\hat{Y} = 12.5 - 0.5(7) = 12.5 - 3.5 = 9.0
Popülasyon için oluşturulan modelin doğrusal tahmin denklemi Y^=β^0+β^1X\hat{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X formundadır.

Anahtar Kavram

En Küçük Kareler Yöntemi ile Tahmin
Bu soruyu puanla

Konular

En Küçük Kareler Yöntemi (Least Squares Estimation)

Bu konudan daha fazla soru