Examkin

Soru

Zorluk: ZorTahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

Bir kamu kurumu uzmanı, bir hizmetin işlem sürelerini analiz ederken verilerin f(x;θ)=θxθ−1f(x; \theta) = \theta x^{\theta-1} (0<x<1,θ>00 < x < 1, \theta > 0) olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip bir dağılımdan geldiğini öngörmektedir. Rastgele seçilen nn hacimli bir örneklem (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) üzerinden θ\theta parametresini tahmin etmek amacıyla,

Tn=−n∑i=1nln⁡XiT_n = -\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i}

istatistiği önerilmiştir. (Bilgi: XX belirtilen dağılıma sahipken −ln⁡X-\ln X rastgele değişkeni üstel dağılıma uymaktadır.)

Bu TnT_n tahmin edicisinin özellikleri ve tutarlılığı (consistency) incelendiğinde, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. A
    Herhangi bir nn hacmi için E(Tn)=θE(T_n) = \theta eşitliğini sağladığından yansızdır ve büyük sayılar yasası gereği tutarlılık özelliğini taşır.
  2. B
    Paydada yer alan logaritmik dönüşüm doğrusal olmadığı için Sürekli Dönüşüm Teoremi (CMT) geçersiz kalır ve tahmin edici tutarsızdır.
  3. Belirli bir nn hacminde beklenen değeri θ\theta'dan farklı olduğundan yanlıdır; buna karşın örneklem çapı büyüdükçe parametreye olasılıkta yakınsadığı için tutarlıdır.Cevap
  4. D
    Hata kareler ortalaması (MSE) örneklem çapı büyüdükçe sonsuza ıraksadığı için, asimptotik yansızlık ve tutarlılık koşullarını sağlamaz.
  5. E
    Beklenen değeri asimptotik olarak yansız çıksa da varyansı sabit kaldığı için istatistiksel açıdan tutarsız bir tahmin edicidir.

Cevap

Doğru yanıt, tahmin edicinin belirli bir n hacmi için yanlı olduğunu ancak örneklem çapı büyüdükçe parametreye olasılıkta yakınsadığı için tutarlı olduğunu belirten ifadedir.
Verilen dağılımdan Yi=−ln⁡XiY_i = -\ln X_i dönüşümü yapıldığında YiY_i değişkeninin üstel dağılıma (Exp(θ)Exp(\theta)) sahip olduğu görülür. TnT_n tahmin edicisi, örneklem ortalamasının tersi olan 1/Yˉ1/\bar{Y} formundadır. Zayıf Büyük Sayılar Yasası gereği Yˉ\bar{Y} olasılıkta 1/θ1/\theta'ya yakınsar. Sürekli Dönüşüm Teoremi kullanıldığında 1/Yˉ1/\bar{Y}'nin de olasılıkta θ\theta'ya yakınsadığı, dolayısıyla TnT_n'nin tutarlı bir tahmin edici olduğu kanıtlanır. Ancak, Gamma dağılımı özellikleri üzerinden beklenen değeri hesaplandığında E(Tn)=nn−1θE(T_n) = \frac{n}{n-1}\theta bulunur ki bu, tahmin edicinin sonlu örneklemlerde yanlı olduğunu kesinleştirir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen f(x;θ)f(x; \theta) yoğunluk fonksiyonu üzerinden Yi=−ln⁡XiY_i = -\ln X_i dönüşümü yapılarak YiY_i'nin dağılımının belirlenmesi.
Yi∼Exp(θ)Y_i \sim Exp(\theta) olduğu ve E(Yi)=1/θE(Y_i) = 1/\theta olduğu bulunur.
TnT_n tahmin edicisinin paydasındaki toplamın olasılıksal davranışını analiz edebilmek için dönüşüm gereklidir.
2
Zayıf Büyük Sayılar Yasası (WLLN) kullanılarak Yˉ\bar{Y}'nin asimptotik davranışının incelenmesi.
Yˉ=1n∑Yi→P1/θ\bar{Y} = \frac{1}{n} \sum Y_i \xrightarrow{P} 1/\theta şeklinde olasılıkta yakınsama tespit edilir.
Tahmin edicinin tutarlılığını kanıtlamak için örneklem ortalamasının limit durumu temel alınmalıdır.
3
Sürekli Dönüşüm Teoremi (Continuous Mapping Theorem - CMT) uygulanarak TnT_n'nin limitinin hesaplanması.
Tn=1YˉT_n = \frac{1}{\bar{Y}} sürekli bir fonksiyon olduğundan Tn→P11/θ=θT_n \xrightarrow{P} \frac{1}{1/\theta} = \theta bulunur. Dolayısıyla TnT_n tutarlıdır.
Bir istatistiğin sürekli bir fonksiyonunun olasılık limiti, o istatistiğin limitinin fonksiyonuna eşittir.
4
Tahmin edicinin beklenen değerinin (yansızlığının) Gamma dağılımı özellikleri ile incelenmesi.
∑Yi∼Gamma(n,θ)\sum Y_i \sim Gamma(n, \theta) olduğundan E(Tn)=nE((∑Yi)−1)=nn−1θ≠θE(T_n) = n E((\sum Y_i)^{-1}) = \frac{n}{n-1}\theta \neq \theta hesaplanır. Tahmin edici yanlıdır.
Tutarlılık ile yansızlık kavramlarının farkını ortaya koymak için sonlu örneklem hacminde beklenti kontrol edilmelidir.

Anahtar Kavram

Tahmin Edicilerin Tutarlılığı (Consistency) ve Sürekli Dönüşüm Teoremi

Alternatif Yöntem

Tutarlılık ispatı için Chebyshev Eşitsizliği de kullanılabilir, ancak bunun için Var(Tn)Var(T_n) değerinin limit durumunda sıfıra gittiğini ispatlamak gerekir ki bu yol daha fazla cebirsel işlem gerektirir. CMT yaklaşımı çok daha analitik ve hızlıdır.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

Bu konudan daha fazla soru