Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

Bir araştırmacı, kitle ortalaması θ\theta ve kitle varyansı σ2<∞\sigma^2 < \infty olan bir dağılımdan alınan nn çaplı rastgele bir örneklem (X1,X2,…,Xn)(X_1, X_2, \dots, X_n) üzerinden θ\theta parametresini tahmin etmek istemektedir.

Örneklem ortalaması Xˉn\bar{X}_n olmak üzere, araştırmacı aşağıdaki gibi yeni bir TnT_n tahmin edicisi tanımlamıştır:
Tn=Xˉn+UnT_n = \bar{X}_n + U_n
Burada UnU_n, örneklemden bağımsız bir rastgele değişken dizisi olup olasılık fonksiyonu şu şekildedir:
P(Un=n)=1n2,P(Un=0)=1−1n2P(U_n = n) = \frac{1}{n^2}, \quad P(U_n = 0) = 1 - \frac{1}{n^2}

Bu tahmin edici TnT_n ile ilgili olarak aşağıda verilen ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. TnT_n, θ\theta için tutarlı ve asimptotik yansız bir tahmin edicidir, ancak Ortalama Hata Karesi (MSE) sıfıra yakınsamaz.Cevap
  2. B
    TnT_n'nin Ortalama Hata Karesi (MSE) sıfıra yakınsamadığı için, TnT_n, θ\theta için tutarlı bir tahmin edici olamaz.
  3. C
    n→∞n \to \infty iken UnU_n rastgele değişkeninin alabileceği maksimum değer sonsuza gittiği için TnT_n olasılıkta yakınsamaz ve tutarsızdır.
  4. D
    TnT_n asimptotik yansız bir tahmin edici olduğu için varyansı sıfıra yakınsar ve bu da onu tutarlı bir tahmin edici yapar.
  5. E
    TnT_n'nin içerdiği yan miktarı nn'ye bağlı olarak sürekli arttığından, TnT_n asimptotik yansız değildir ve dolayısıyla tutarsızdır.

Cevap

Tahmin edici asimptotik yansızdır ve olasılıkta kitle ortalamasına yakınsadığı için tutarlıdır; ancak karesel sapmaları içeren MSE değeri sıfıra değil, 1'e yakınsamaktadır.
Tahmin edicinin tutarlılığı, olasılıkta yakınsama (convergence in probability) ile tanımlanır. UnU_n rassal değişkeninin büyük bir değer (nn) alma olasılığı (1/n21/n^2) çok hızlı bir şekilde sıfıra gittiği için UnU_n olasılıkta 0'a yakınsar. Büyük Sayılar Yasası gereği Xˉn\bar{X}_n de olasılıkta θ\theta'ya yakınsar. Bu ikisinin toplamı olan TnT_n, olasılıkta θ\theta'ya yakınsadığı için tutarlıdır. Aynı zamanda E(Tn)=θ+1/n→θE(T_n) = \theta + 1/n \to \theta olduğundan asimptotik yansızdır. Ancak, UnU_n'nin varyansı karesel sapmalardan dolayı 1'e yakınsadığı için, toplam MSE değeri 1 olur ve sıfıra yakınsamaz. Bu özel kurgu, MSE'nin sıfıra gitmesinin tutarlılık için yeter koşul olduğunu ancak gerek koşul olmadığını kanıtlayan klasik bir örnektir.

Adım Adım Çözüm

1
TnT_n'nin beklenen değerini ve asimptotik yansızlığını hesaplayın.
E(Un)=n⋅(1/n2)+0⋅(1−1/n2)=1/nE(U_n) = n \cdot (1/n^2) + 0 \cdot (1 - 1/n^2) = 1/n. Dolayısıyla E(Tn)=E(Xˉn)+E(Un)=θ+1/nE(T_n) = E(\bar{X}_n) + E(U_n) = \theta + 1/n. Limit alındığında lim⁡n→∞E(Tn)=θ\lim_{n \to \infty} E(T_n) = \theta olur. Tahmin edici asimptotik yansızdır.
Yansızlık durumunu ve asimptotik özelliklerini belirlemek.
2
TnT_n'nin varyansını ve Ortalama Hata Karesini (MSE) hesaplayın.
E(Un2)=n2⋅(1/n2)+0=1E(U_n^2) = n^2 \cdot (1/n^2) + 0 = 1. Buradan Var(Un)=1−(1/n)2Var(U_n) = 1 - (1/n)^2. TnT_n'nin varyansı: Var(Tn)=σ2n+1−1n2Var(T_n) = \frac{\sigma^2}{n} + 1 - \frac{1}{n^2}. Limit alındığında varyans 1'e gider. MSE(Tn)=Var(Tn)+[Yan]2=σ2n+1→1MSE(T_n) = Var(T_n) + [Yan]^2 = \frac{\sigma^2}{n} + 1 \to 1.
Tutarlılık için yeter koşul olan MSE'nin sıfıra gidip gitmediğini kontrol etmek.
3
TnT_n'nin olasılıkta yakınsamasını (tutarlılığını) temel tanımdan inceleyin.
Olasılıkta yakınsama için P(∣Un∣>ϵ)P(|U_n| > \epsilon) limitine bakılır. ϵ>0\epsilon > 0 için P(∣Un∣>ϵ)≤P(Un=n)=1/n2→0P(|U_n| > \epsilon) \le P(U_n = n) = 1/n^2 \to 0. O halde Un→p0U_n \xrightarrow{p} 0. Xˉn→pθ\bar{X}_n \xrightarrow{p} \theta olduğundan, toplamları Tn→pθT_n \xrightarrow{p} \theta olur.
MSE sıfıra gitmediğinde tahmin edicinin hala tutarlı olup olamayacağını zayıf tutarlılık (olasılıkta yakınsama) tanımıyla doğrulamak.

Anahtar Kavram

Tutarlılık (Consistency) ve Ortalama Hata Karesi (MSE) İlişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

Bu konudan daha fazla soru