Examkin

Soru

Zorluk: KolayTek Değişkenli Dönüşüm (Değişken Değiştirme) Yöntemi

Bir araştırmacı, bir deneyden elde edilen XX sürekli rastgele değişkeninin [0,1][0, 1] aralığında düzgün (uniform) dağılıma sahip olduğunu saptamıştır. Bu araştırmacı, elde edilen verileri Y=4X−1Y = 4X - 1 dönüşümü ile standardize etmektedir. Buna göre, YY rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

  1. fY(y)=14,−1<y<3f_Y(y) = \frac{1}{4}, \quad -1 < y < 3Cevap
  2. B
    fY(y)=1,−1<y<3f_Y(y) = 1, \quad -1 < y < 3
  3. C
    fY(y)=14,0<y<1f_Y(y) = \frac{1}{4}, \quad 0 < y < 1
  4. D
    fY(y)=4,−1<y<3f_Y(y) = 4, \quad -1 < y < 3
  5. E
    fY(y)=14,−1<y<4f_Y(y) = \frac{1}{4}, \quad -1 < y < 4

Cevap

Y rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu fY(y)=14f_Y(y) = \frac{1}{4} olup −1<y<3-1 < y < 3 aralığında tanımlıdır.
Verilen X∼U(0,1)X \sim U(0,1) dağılımı için yoğunluk 1'dir. Y=4X−1Y=4X-1 dönüşümünde ters fonksiyon X=(Y+1)/4X = (Y+1)/4 ve bu ifadenin yy'ye göre türevi 1/41/4 olur. Sınırlar ise x=0x=0 için y=−1y=-1 ve x=1x=1 için y=3y=3 olarak bulunur. Bu veriler birleştirildiğinde doğru yoğunluk fonksiyonu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
XX değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF) ve sınırlarını belirleyin.
fX(x)=1,0<x<1f_X(x) = 1, \quad 0 < x < 1
XX değişkeni [0,1][0, 1] aralığında düzgün dağılıma sahiptir.
2
Ters dönüşüm fonksiyonunu (x=g−1(y)x = g^{-1}(y)) bulun.
Y=4X−1⇒X=Y+14Y = 4X - 1 \Rightarrow X = \frac{Y+1}{4}
Tek değişkenli dönüşüm yönteminde xx'i yy cinsinden ifade etmek gerekir.
3
Jakobiyen değerini (ters dönüşümün türevinin mutlak değeri) hesaplayın.
∣J∣=∣dxdy∣=∣14∣=14|J| = |\frac{dx}{dy}| = |\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}
Dönüşüm formülünde yoğunluğun ölçeklenmesi için Jakobiyen terimi gereklidir.
4
YY değişkeninin tanım kümesini (sınırlarını) hesaplayın.
0<x<1⇒0<y+14<1⇒0<y+1<4⇒−1<y<30 < x < 1 \Rightarrow 0 < \frac{y+1}{4} < 1 \Rightarrow 0 < y+1 < 4 \Rightarrow -1 < y < 3
Eski değişkenin sınırları, dönüşüm fonksiyonu aracılığıyla yeni değişkene taşınmalıdır.
5
Dönüşüm formülünü uygulayarak fY(y)f_Y(y) fonksiyonunu yazın.
fY(y)=fX(g−1(y))⋅∣J∣=1⋅14=14f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot |J| = 1 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4}
Tek değişkenli sürekli dönüşüm kuralı uygulanmıştır.

Anahtar Kavram

Tek Değişkenli Sürekli Dönüşüm Formülü
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tek Değişkenli Dönüşüm (Değişken Değiştirme) Yöntemi