Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMonoton Olabilirlik Oranı (MLR)

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele değişkenleri, x>0x > 0 için olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x∣θ)=θ2xe−θxf(x|\theta) = \theta^2 x e^{-\theta x}

şeklinde verilen dağılımdan alınmış nn birimlik bir rastgele örneklem olsun. (Burada θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametredir.)

Buna göre, θ2>θ1\theta_2 > \theta_1 koşulunu sağlayan herhangi iki parametre değeri için, bu dağılım ailesi aşağıdaki istatistiklerden hangisine göre Monoton Olabilirlik Oranına (MLR) sahiptir?

  1. T(x)=−∑i=1nxiT(\mathbf{x}) = -\sum_{i=1}^n x_iCevap
  2. B
    T(x)=∑i=1nxiT(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n x_i
  3. C
    T(x)=∏i=1nxiT(\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n x_i
  4. D
    T(x)=∑i=1nxi2T(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n x_i^2
  5. E
    T(x)=−∏i=1nxiT(\mathbf{x}) = -\prod_{i=1}^n x_i

Cevap

MLR istatistiği T(x)=−∑i=1nxiT(\mathbf{x}) = -\sum_{i=1}^n x_i olmalıdır.
Olabilirlik oranı hesaplandığında, oranın x\mathbf{x}'e bağlı kısmının e−(θ2−θ1)∑xie^{-(\theta_2 - \theta_1) \sum x_i} olduğu görülür. θ2>θ1\theta_2 > \theta_1 varsayımı altında (θ2−θ1)(\theta_2 - \theta_1) pozitiftir. Bu nedenle oran, ∑xi\sum x_i değerinin monoton azalan, fakat −∑xi-\sum x_i değerinin monoton artan bir fonksiyonudur. Tanım gereği oranın azalmayan bir fonksiyon olması arandığından, doğru istatistik T(x)=−∑i=1nxiT(\mathbf{x}) = -\sum_{i=1}^n x_i formundadır.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklemin ortak olasılık yoğunluk (olabilirlik) fonksiyonunu elde etmek.
L(θ∣x)=∏i=1n(θ2xie−θxi)=θ2n(∏i=1nxi)e−θ∑i=1nxiL(\theta|\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n (\theta^2 x_i e^{-\theta x_i}) = \theta^{2n} \left( \prod_{i=1}^n x_i \right) e^{-\theta \sum_{i=1}^n x_i}
MLR özelliğini incelemek için θ\theta'ya bağlı olabilirlik fonksiyonunun tam formuna ihtiyaç vardır.
2
θ2>θ1\theta_2 > \theta_1 koşulu altında olabilirlik oranını (likelihood ratio) yazmak ve sadeleştirmek.
L(θ2∣x)L(θ1∣x)=θ22n(∏xi)e−θ2∑xiθ12n(∏xi)e−θ1∑xi=(θ2θ1)2ne−(θ2−θ1)∑i=1nxi\frac{L(\theta_2|\mathbf{x})}{L(\theta_1|\mathbf{x})} = \frac{\theta_2^{2n} (\prod x_i) e^{-\theta_2 \sum x_i}}{\theta_1^{2n} (\prod x_i) e^{-\theta_1 \sum x_i}} = \left(\frac{\theta_2}{\theta_1}\right)^{2n} e^{-(\theta_2 - \theta_1) \sum_{i=1}^n x_i}
Monotonluk durumu, bu iki fonksiyonun oranının örneklem istatistiğine göre nasıl değiştiği incelenerek belirlenir.
3
Elde edilen oranın hangi T(x)T(\mathbf{x}) istatistiğine göre azalmayan (artan) bir fonksiyon olduğunu saptamak.
θ2>θ1\theta_2 > \theta_1 olduğundan θ2−θ1>0\theta_2 - \theta_1 > 0'dır. Dolayısıyla e−(θ2−θ1)∑xie^{-(\theta_2 - \theta_1) \sum x_i} ifadesi ∑xi\sum x_i arttıkça azalır. Ancak istatistik T(x)=−∑xiT(\mathbf{x}) = -\sum x_i olarak seçilirse, oran bu istatistiğin monoton artan bir fonksiyonu olur.
Bir ailenin T(x)T(\mathbf{x})'e göre MLR'ye sahip olması için, oranın T(x)T(\mathbf{x}) ile aynı yönde artması gerekir.

Anahtar Kavram

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)
Bu soruyu puanla

Konular

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)

Bu konudan daha fazla soru