Examkin

Soru

Zorluk: ZorRegresyonda Hipotez Testleri ve Güven Aralıkları

Bir araştırmacı, 34 gözlemden oluşan bir veri seti kullanarak bir bağımlı değişkeni (YY) üç bağımsız değişkenle (X1,X2,X3X_1, X_2, X_3) tahmin etmek için çoklu doğrusal regresyon modeli kurmuştur. Elde edilen tahmin denklemi ve katsayılara ait standart hatalar (parantez içinde) aşağıda verilmiştir:

Y^=12.5+4.2X1−2.8X2+1.5X3 \hat{Y} = 12.5 + 4.2 X_1 - 2.8 X_2 + 1.5 X_3
S.H.:(5.0)(2.1)(1.0)(0.5) S.H.: (5.0) \quad (2.1) \quad (1.0) \quad (0.5)

Ayrıca, modele ait Varyans Analizi (ANOVA) tablosunda Regresyon Kareler Toplamı (RKT) 150 ve Artık (Hata) Kareler Toplamı (AKT) 100 olarak hesaplanmıştır.
α=0.05\alpha = 0.05 anlamlılık düzeyi için t(0.025;30)=2.042t_{(0.025; 30)} = 2.042 ve F(3;30)=2.92F_{(3; 30)} = 2.92 kritik değerleri verilmiştir.

Bu modelin hipotez testleri ve güven aralıkları ile ilgili aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Modelin genel anlamlılığını sınayan FF istatistiği 15'tir ve β1\beta_1 parametresine ait %95'lik güven aralığı sıfır (0) değerini içerir.Cevap
  2. B
    β3\beta_3 katsayısına ait tt istatistiği 0.33 olarak hesaplanır ve bu katsayı α=0.05\alpha = 0.05 düzeyinde istatistiksel olarak anlamsızdır.
  3. C
    β2\beta_2 parametresi için hesaplanan tt istatistiği negatiftir, bu nedenle bu parametreye ait %95'lik güven aralığı sıfır (0) değerini kapsar.
  4. D
    Modelin FF test istatistiği hesaplanırken regresyon kareler toplamı artık kareler toplamına bölünerek F=1.5F=1.5 bulunur ve model anlamsızdır.
  5. E
    Hipotez testlerinde serbestlik derecesi (n−1)=33(n-1)=33 olarak alınmalıdır ve β1\beta_1 katsayısının pp-değeri 0.05'ten küçüktür.

Cevap

Modelin genel anlamlılığını sınayan FF istatistiği 15'tir ve β1\beta_1 parametresine ait %95'lik güven aralığı sıfır (0) değerini içerir.
Doğru seçenekte belirtildiği gibi, modelin F istatistiği Ortalama Kareler oranından F=(150/3)/(100/30)=50/3.33=15F = (150/3) / (100/30) = 50 / 3.33 = 15 olarak bulunur. 15>2.9215 > 2.92 olduğundan model bütünüyle anlamlıdır. β1\beta_1 katsayısı için hesaplanan t istatistiği ise 4.2/2.1=2.04.2 / 2.1 = 2.0'dır. Bu değer, 30 serbestlik dereceli kritik t değeri olan 2.0422.042'den mutlak değerce küçük olduğu için H0:β1=0H_0: \beta_1 = 0 hipotezi %5 anlamlılık düzeyinde reddedilemez. Hipotezin reddedilememesi, β1\beta_1 katsayısına ait %95'lik güven aralığının sınırları arasında sıfır (00) değerini barındırdığını kesin olarak gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Serbestlik derecelerini belirleme.
Gözlem sayısı n=34n=34, bağımsız değişken sayısı k=3k=3. Regresyon serbestlik derecesi k=3k=3, hata serbestlik derecesi (n−k−1)=34−3−1=30(n-k-1) = 34-3-1 = 30.
Varyans analizi ve t testlerinde kullanılacak kritik değerleri ve ortalama kareleri hesaplayabilmek için serbestlik derecelerine ihtiyaç vardır.
2
Modelin genel anlamlılığı için FF istatistiğini hesaplama.
RKT=150RKT=150, AKT=100AKT=100. Regresyon Ortalama Karesi MSR=150/3=50MSR = 150/3 = 50. Hata Ortalama Karesi MSE=100/30=3.33MSE = 100/30 = 3.33. Buradan F=MSR/MSE=50/3.33=15F = MSR / MSE = 50 / 3.33 = 15.
Modelin bütünüyle istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını belirlemek için Ortalama Kareler birbirine oranlanmalıdır.
3
β1\beta_1 parametresine ait tt istatistiğini hesaplama.
t1=b1Sb1=4.22.1=2.0t_1 = \frac{b_1}{S_{b_1}} = \frac{4.2}{2.1} = 2.0.
Değişkenin tek başına modele anlamlı katkı sağlayıp sağlamadığını test etmek için katsayı, standart hatasına bölünür.
4
Hesaplanan test istatistiklerini güven aralığı ve anlamlılık bağlamında yorumlama.
F=15>2.92F=15 > 2.92 olduğundan model bütünüyle anlamlıdır. β1\beta_1 için ∣t1∣=2.0<2.042|t_1| = 2.0 < 2.042 olduğundan H0:β1=0H_0: \beta_1 = 0 hipotezi α=0.05\alpha=0.05 düzeyinde reddedilemez.
Hipotezin reddedilememesi (pp-değerinin 0.050.05'ten büyük olması), β1\beta_1 katsayısının %95'lik güven aralığının alt ve üst sınırları arasında sıfır (00) değerinin bulunduğunu gösterir.

Anahtar Kavram

Çoklu Doğrusal Regresyonda Genel ve Kısmi Anlamlılık Testleri
Bu soruyu puanla

Konular

Regresyonda Hipotez Testleri ve Güven Aralıkları

Bu konudan daha fazla soru