Examkin

Soru

Zorluk: KolayYansızlık (Unbiasedness) ve Yan Miktarı

Beklenen değeri λ\lambda olan Poisson dağılımına sahip bir kitleden nn birimlik X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele örneklemi çekilmiştir. λ\lambda parametresi için λ^=Xˉ+1n\hat{\lambda} = \bar{X} + \frac{1}{n} şeklinde bir tahmin edici tanımlanmıştır. Buna göre, bu tahmin edicinin yan (bias) miktarı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    00
  2. 1n\frac{1}{n}Cevap
  3. C
    −1n-\frac{1}{n}
  4. D
    1n−1\frac{1}{n-1}
  5. E
    λn\frac{\lambda}{n}

Cevap

Tahmin edicinin yan miktarı 1/n1/n olarak hesaplanır.
Tahmin edicinin beklenen değeri hesaplandığında E[λ^]=E[Xˉ]+1/n=λ+1/nE[\hat{\lambda}] = E[\bar{X}] + 1/n = \lambda + 1/n sonucu elde edilir. Yan miktarı tanımı gereği B(λ^)=E[λ^]−λB(\hat{\lambda}) = E[\hat{\lambda}] - \lambda olduğundan, λ+1/n−λ=1/n\lambda + 1/n - \lambda = 1/n değeri doğru yan miktarıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin edicinin beklenen değerini hesaplayın.
E[λ^]=E[Xˉ+1n]=E[Xˉ]+E[1n]E[\hat{\lambda}] = E[\bar{X} + \frac{1}{n}] = E[\bar{X}] + E[\frac{1}{n}]
Beklenen değer operatörünün lineerlik özelliği kullanılarak toplama işlemi ayrıştırılır.
2
Örneklem ortalamasının beklenen değerini yerine koyun.
E[Xˉ]=λE[\bar{X}] = \lambda
Herhangi bir dağılımda örneklem ortalamasının beklenen değeri kitle ortalamasına eşittir.
3
Tahmin edicinin tam beklenen değerini bulun.
E[λ^]=λ+1nE[\hat{\lambda}] = \lambda + \frac{1}{n}
Sabit bir sayının beklenen değeri kendisine eşit olduğundan Xˉ\bar{X}'in beklenen değerine 1/n1/n eklenir.
4
Yan (bias) miktarını hesaplayın.
B(λ^)=E[λ^]−λ=(λ+1n)−λ=1nB(\hat{\lambda}) = E[\hat{\lambda}] - \lambda = (\lambda + \frac{1}{n}) - \lambda = \frac{1}{n}
Yan miktarı, tahmin edicinin beklenen değeri ile tahmin edilmek istenen gerçek parametre değeri arasındaki farktır.

Anahtar Kavram

Yan (bias) miktarı, bir tahmin edicinin beklenen değerinin hedef parametreden ne kadar saptığını ölçer.

Daha Fazla Pratik

Eğer tahmin edici λ^=nn+1Xˉ\hat{\lambda} = \frac{n}{n+1}\bar{X} şeklinde tanımlansaydı yan miktarının nasıl değişeceğini hesaplayarak çarpımsal yan durumunu pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Yansızlık (Unbiasedness) ve Yan Miktarı

Bu konudan daha fazla soru