Examkin

Soru

Zorluk: KolayYansızlık (Unbiasedness) ve Yan Miktarı

Başarı olasılığı pp olan bir Bernoulli dağılımından nn birimlik X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele örneklemi çekilmiştir. pp parametresini tahmin etmek amacıyla önerilen p^=∑i=1nXi+1n+2\hat{p} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i + 1}{n+2} tahmin edicisinin yan (bias) miktarı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 1−2pn+2\frac{1 - 2p}{n+2}Cevap
  2. B
    1−pn+2\frac{1 - p}{n+2}
  3. C
    00
  4. D
    np+1n+2\frac{np + 1}{n+2}
  5. E
    1n+2\frac{1}{n+2}

Cevap

Tahmin edicinin yan miktarı 1−2pn+2\frac{1 - 2p}{n+2} olarak hesaplanır.
Doğru cevap olan ifade, tahmin edicinin beklenen değerinden kitlenin gerçek parametresi olan pp çıkarıldığında elde edilen net farktır. Bernoulli dağılımında toplamın beklenen değeri npnp olduğu için, önerilen istatistiğin ortalaması np+1n+2\frac{np+1}{n+2} olur ve buradan pp çıkarıldığında sonuç elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin edicinin beklenen değerini hesaplayın.
E[p^]=E[∑Xi+1n+2]=E[∑Xi]+1n+2=np+1n+2E[\hat{p}] = E\left[\frac{\sum X_i + 1}{n+2}\right] = \frac{E[\sum X_i] + 1}{n+2} = \frac{np + 1}{n+2}
Beklenen değerin lineerlik özelliği ve Bernoulli dağılımında E[Xi]=pE[X_i] = p olması.
2
Yan (bias) formülünü uygulayın.
B(p^)=E[p^]−pB(\hat{p}) = E[\hat{p}] - p
Yan miktarı, bir tahmin edicinin beklenen değeri ile gerçek parametre değeri arasındaki farktır.
3
İşlemi sadeleştirin.
np+1n+2−p=np+1−p(n+2)n+2=np+1−np−2pn+2=1−2pn+2\frac{np + 1}{n+2} - p = \frac{np + 1 - p(n+2)}{n+2} = \frac{np + 1 - np - 2p}{n+2} = \frac{1 - 2p}{n+2}
Ortak paydada buluşturarak aritmetik sadeleştirme yapılması.

Anahtar Kavram

Yan (Bias) Hesaplaması
Bu soruyu puanla

Konular

Yansızlık (Unbiasedness) ve Yan Miktarı

Bu konudan daha fazla soru