Examkin

Soru

Zorluk: OrtaCramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı

Bir meteoroloji istasyonunda ölçülen rüzgar hızı XX rastgele değişkeni, σ>0\sigma > 0 parametreli Rayleigh dağılımına uymaktadır. Bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir:

f(x;σ)=xσ2e−x22σ2,x≥0f(x; \sigma) = \frac{x}{\sigma^2} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}, \quad x \geq 0

Bu istasyondan alınan nn birimlik rastgele bir örneklem X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olduğuna göre, σ2\sigma^2 parametresinin her yansız tahmin edicisi için varyansın alabileceği en küçük değer (Cramer-Rao alt sınırı) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. σ4n\frac{\sigma^4}{n}Cevap
  2. B
    2σ4n\frac{2\sigma^4}{n}
  3. C
    σ42n\frac{\sigma^4}{2n}
  4. D
    4σ4n\frac{4\sigma^4}{n}
  5. E
    σ4\sigma^4

Cevap

Rayleigh dağılımı için σ2\sigma^2 parametresinin Cramer-Rao alt sınırı σ4n\frac{\sigma^4}{n} olarak hesaplanır.
Rayleigh dağılımı için tek bir gözlemin Fisher bilgisi I(σ)=4/σ2I(\sigma) = 4/\sigma^2 olarak bulunur. Tahmin edilmek istenen fonksiyon g(σ)=σ2g(\sigma) = \sigma^2 olduğundan, türevi g′(σ)=2σg'(\sigma) = 2\sigma ve bu türevin karesi 4σ24\sigma^2 olur. Formül gereği bu değer n⋅I(σ)n \cdot I(\sigma) ifadesine bölündüğünde sonuç σ4/n\sigma^4/n olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Log-olabilirlik fonksiyonunun (ℓℓ) tek bir gözlem için yazılması
ln⁡f(x;σ)=ln⁡x−2ln⁡σ−x22σ2\ln f(x; \sigma) = \ln x - 2 \ln \sigma - \frac{x^2}{2\sigma^2}
Fisher bilgisini hesaplamak için olasılık yoğunluk fonksiyonunun logaritması alınır.
2
Parametreye (σ\sigma) göre birinci ve ikinci türevlerin alınması
∂ln⁡f∂σ=−2σ+x2σ3\frac{\partial \ln f}{\partial \sigma} = -\frac{2}{\sigma} + \frac{x^2}{\sigma^3} ve ∂2ln⁡f∂σ2=2σ2−3x2σ4\frac{\partial^2 \ln f}{\partial \sigma^2} = \frac{2}{\sigma^2} - \frac{3x^2}{\sigma^4}
Fisher bilgisi, log-olabilirlik fonksiyonunun ikinci türevinin negatif beklenen değeridir.
3
Fisher bilgisinin (I(σ)I(\sigma)) hesaplanması
I(σ)=−E[2σ2−3X2σ4]=−2σ2+3(2σ2)σ4=4σ2I(\sigma) = -E[\frac{2}{\sigma^2} - \frac{3X^2}{\sigma^4}] = -\frac{2}{\sigma^2} + \frac{3(2\sigma^2)}{\sigma^4} = \frac{4}{\sigma^2}
Rayleigh dağılımında E[X2]=2σ2E[X^2] = 2\sigma^2 olduğu bilgisi kullanılarak beklenen değer hesaplanır.
4
Tahmin edilecek fonksiyonun (g(σ)=σ2g(\sigma) = \sigma^2) türevinin alınması
g′(σ)=2σg'(\sigma) = 2\sigma
Cramer-Rao formülünün pay kısmında parametrik fonksiyonun türevinin karesi yer alır.
5
Cramer-Rao Alt Sınır (CRAS) formülünün uygulanması
CRAS=[g′(σ)]2n⋅I(σ)=(2σ)2n⋅(4/σ2)=4σ24n/σ2=σ4n\text{CRAS} = \frac{[g'(\sigma)]^2}{n \cdot I(\sigma)} = \frac{(2\sigma)^2}{n \cdot (4/\sigma^2)} = \frac{4\sigma^2}{4n/\sigma^2} = \frac{\sigma^4}{n}
Elde edilen tüm değerler standart varyans alt sınır formülünde yerine konur.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao eşitsizliği, düzenlilik koşulları altında yansız bir tahmin edicinin varyansının alt sınırını Fisher bilgisi aracılığıyla belirler.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Cramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru