Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

İstatistiksel sonuç çıkarımında parametre tahminleri elde edilirken, gözlemlerin özellikleri tahmin edicinin asimptotik davranışını doğrudan etkiler. Bağımsız Y1,Y2,…,YnY_1, Y_2, \dots, Y_n rastgele değişkenlerinin beklenen değerleri her bir gözlem için E(Yi)=θE(Y_i) = \theta ve varyansları indeksine bağlı olarak Var(Yi)=i⋅σ2Var(Y_i) = i \cdot \sigma^2 (burada σ2>0\sigma^2 > 0) şeklinde verilmiştir.

Bilinmeyen θ\theta parametresini tahmin etmek için örneklem ortalaması olan Tn=1n∑i=1nYiT_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i istatistiği önerilmiştir.

Buna göre, TnT_n tahmin edicisinin yansızlık ve tutarlılık özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. Her nn örneklem çapı için yansızdır, ancak varyansının limiti sıfır olmadığı için tutarlı değildir.Cevap
  2. B
    Her nn örneklem çapı için yansızdır ve varyansı nn ile birlikte sürekli azaldığı için tutarlı bir tahmin edicidir.
  3. C
    Sonlu örneklemlerde yanlıdır ancak asimptotik olarak yansızlaşır ve varyansı sıfıra gittiği için tutarlıdır.
  4. D
    Yansız bir tahmin edicidir ancak asimptotik varyansı sonsuza ıraksadığı için tutarlı değildir.
  5. E
    Yanlı bir tahmin edicidir ve asimptotik varyans limiti σ2\sigma^2 olduğu için tutarsızdır.

Cevap

Her nn örneklem çapı için yansızdır, ancak varyansının limiti sıfır olmadığı için tutarlı değildir.
Tahmin edicinin yansızlık ve tutarlılık özellikleri sırasıyla beklenen değer ve limit varyans koşullarıyla incelenir. Matematiksel olarak E(Tn)=θE(T_n) = \theta hesaplandığından tahmin edici yansızdır. Yansız tahmin edicilerde Hata Kareler Ortalaması (MSE) doğrudan varyansa eşittir. Varyans hesaplandığında Var(Tn)=σ2n+12nVar(T_n) = \sigma^2 \frac{n+1}{2n} bulunur. nn sonsuza giderken bu ifadenin limiti σ22\frac{\sigma^2}{2}'dir. MSE asimptotik olarak sıfıra gitmediği için bu tahmin edici tutarlı değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin edicinin beklenen değerini hesaplayarak yansızlık durumunu kontrol edin.
E(Tn)=E(1n∑i=1nYi)=1n∑i=1nE(Yi)=1n∑i=1nθ=nθn=θE(T_n) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(Y_i) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \theta = \frac{n\theta}{n} = \theta.
Bir tahmin edicinin yansız olabilmesi için her nn değeri için beklenen değerinin tahmin edilen parametreye eşit olması gerekir.
2
Değişkenlerin bağımsızlığını kullanarak tahmin edicinin varyansını hesaplayın.
Var(Tn)=Var(1n∑i=1nYi)=1n2∑i=1nVar(Yi)=1n2∑i=1n(i⋅σ2)=σ2n2n(n+1)2=σ2n+12nVar(T_n) = Var\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n Var(Y_i) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n (i \cdot \sigma^2) = \frac{\sigma^2}{n^2} \frac{n(n+1)}{2} = \sigma^2 \frac{n+1}{2n}.
Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, varyanslarının toplamına eşittir. Burada Gauss toplam formülü (∑i=1ni=n(n+1)2\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}) kullanılır.
3
Tutarlılık için gerekli koşulu değerlendirmek üzere n→∞n \to \infty iken varyansın limitini alın.
lim⁡n→∞Var(Tn)=lim⁡n→∞σ2n+12n=σ22\lim_{n \to \infty} Var(T_n) = \lim_{n \to \infty} \sigma^2 \frac{n+1}{2n} = \frac{\sigma^2}{2}. Limit sıfırdan farklıdır (σ22≠0\frac{\sigma^2}{2} \neq 0).
Yansız bir tahmin edicinin tutarlı olabilmesi için yeter koşul, varyansının (aynı zamanda Hata Kareler Ortalaması - MSE'sinin) limit durumunda sıfıra gitmesidir. Sıfıra gitmediği için olasılıkta yakınsama garanti edilemez, tutarlı değildir.

Anahtar Kavram

Tahmin edicilerde yansızlık ve tutarlılık için yeter koşul (MSE'nin limiti)
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

Bu konudan daha fazla soru