Examkin

Soru

Zorluk: ZorTahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

Bir finansal risk analisti, bir kredi portföyündeki müşterilerin temerrüde düşme durumlarını bağımsız Bernoulli denemeleri olarak modellemiş ve başarı olasılığını pp (0<p<10 < p < 1) olarak tanımlamıştır. Analist, bu dağılımın varyansı olan θ=p(1−p)\theta = p(1-p) parametresini tahmin etmek amacıyla nn hacimli (n≥2n \geq 2) bir rastgele örneklem üzerinden aşağıdaki üç farklı tahmin ediciyi kurgulamıştır:

I. T1=Xˉ(1−Xˉ)T_1 = \bar{X}(1 - \bar{X})
II. T2=nn−1Xˉ(1−Xˉ)T_2 = \frac{n}{n-1} \bar{X}(1 - \bar{X})
III. T3=X1(1−X2)T_3 = X_1(1 - X_2)

Tahmin edicilerin asimptotik davranışları ve tutarlılık (consistency) özellikleri incelendiğinde aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. A
    T1T_1 yanlı olduğu için tutarlı değildir; yalnızca yansızlık şartını sağlayan T2T_2 ve T3T_3 tutarlı tahmin edicilerdir.
  2. B
    T1T_1 tahmin edicisinin varyansı n→∞n \to \infty iken sıfıra yakınsasa da, yanlı bir tahmin edici olduğu için Hata Kareler Ortalaması (MSE) sıfıra yakınsamaz ve bu nedenle tutarsızdır.
  3. Yalnızca T1T_1 ve T2T_2 tutarlı tahmin edicilerdir; T3T_3 yansız olmasına rağmen varyansı asimptotik olarak sıfıra yakınsamadığı için tutarlı değildir.Cevap
  4. D
    Yalnızca T2T_2 tutarlı bir tahmin edicidir, çünkü bir tahmin edicinin tutarlı olabilmesi için her örneklem çapında mutlak surette yansız olması zorunludur.
  5. E
    Üç tahmin edici de tutarlılık özelliğini sağlar, çünkü her birinin beklenen değeri örneklem çapı sonsuza giderken θ\theta parametresine eşittir.

Cevap

Yalnızca T1T_1 ve T2T_2 tutarlı tahmin edicilerdir; T3T_3 yansız olmasına rağmen varyansı asimptotik olarak sıfıra yakınsamadığı için tutarlı değildir.
Bir tahmin edicinin tutarlı olması için n→∞n \to \infty iken parametreye olasılıkta yakınsaması gerekir. Xˉ\bar{X} tahmin edicisi Büyük Sayılar Yasası (WLLN) gereği pp'ye olasılıkta yakınsar (Xˉ→Pp\bar{X} \xrightarrow{P} p). Sürekli Dönüşüm Teoremi'ne göre g(x)=x(1−x)g(x)=x(1-x) sürekli bir fonksiyon olduğundan Xˉ(1−Xˉ)→Pp(1−p)\bar{X}(1-\bar{X}) \xrightarrow{P} p(1-p) olur, yani T1T_1 tutarlıdır. T2T_2 ise T1T_1'in asimptotik olarak 11'e yakınsayan n/(n−1)n/(n-1) sabiti ile çarpılmış halidir ve Slutsky Teoremi gereği tutarlıdır. T3T_3 tahmin edicisi E(X1(1−X2))=p(1−p)E(X_1(1-X_2)) = p(1-p) olduğu için tam yansızdır ancak tahmini yalnızca iki gözleme dayandırır. Örneklem çapı nn sonsuza gitse bile verinin geri kalanını kullanmadığı için varyansı azalmaz ve sıfıra gitmez. Bu sebeple olasılıkta θ\theta'ya yığılma gerçekleşmez ve T3T_3 tutarlı değildir.

Adım Adım Çözüm

1
T1T_1, T2T_2 ve T3T_3 tahmin edicilerinin beklenen değerlerini inceleyerek yansızlık durumlarını belirlemek.
E(T1)=n−1np(1−p)E(T_1) = \frac{n-1}{n}p(1-p) olup yanlıdır (ancak limitinde asimptotik yansızdır). E(T2)=p(1−p)E(T_2) = p(1-p) olup tam yansızdır. E(T3)=E(X1)E(1−X2)=p(1−p)E(T_3) = E(X_1)E(1-X_2) = p(1-p) olup tam yansızdır.
Tutarlılık analizi için öncelikle tahmin edicilerin asimptotik olarak parametreye yakınsayıp yakınsamadığı (beklenen değer limiti) kontrol edilmelidir.
2
Büyük Sayılar Yasası (WLLN) ve Sürekli Dönüşüm Teoremi kullanarak T1T_1 ve T2T_2'nin tutarlılığını değerlendirmek.
Büyük Sayılar Yasası gereği Xˉ→Pp\bar{X} \xrightarrow{P} p olur. Sürekli Dönüşüm Teoremi uygulanırsa Xˉ(1−Xˉ)→Pp(1−p)\bar{X}(1-\bar{X}) \xrightarrow{P} p(1-p) elde edilir. Bu nedenle T1T_1 tutarlıdır. Slutsky Teoremi ile nn−1→1\frac{n}{n-1} \to 1 olduğundan T2T_2 de aynı değere olasılıkta yakınsar ve tutarlıdır.
Olasılıkta yakınsama özellikleri, tahmin edicilerin tutarlılığını ispatlamak için yeterlidir.
3
T3T_3'ün varyansının n→∞n \to \infty durumundaki limitini incelemek.
T3T_3 sadece ilk iki bağımsız gözleme (X1X_1 ve X2X_2) dayanır. Örneklem çapı nn ne kadar büyürse büyüsün yapısı değişmez. Varyansı sabittir ve sıfıra yakınsamaz. Bu nedenle olasılıkta yakınsama gerçekleşmez ve T3T_3 tutarlı değildir.
Yansız bir tahmin edicinin tutarlı olabilmesi için MSE'sinin (ve dolayısıyla varyansının) asimptotik olarak sıfıra gitmesi şarttır.

Anahtar Kavram

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

Bu konudan daha fazla soru