Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

Bir enerji dağıtım şirketi, belirli bir bölgedeki ana trafolarda meydana gelen ardışık iki arıza arasındaki süreyi (saat cinsinden) izlemektedir. Arızalar arası bekleme sürelerinin birbirinden bağımsız ve Xi∼U¨stel(θ)X_i \sim \text{Üstel}(\theta) dağılımına sahip olduğu varsayılmaktadır. Burada θ>0\theta > 0, ortalama arıza bekleme süresini ifade etmektedir.

Kurumun risk analizi birimi, birim zamandaki arıza oranını temsil eden λ=1θ\lambda = \frac{1}{\theta} parametresini tahmin etmek istemektedir. nn (n>1n > 1) çaplı rastgele bir örneklem temel alındığında, λ\lambda parametresinin Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edicisi (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: Üstel dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x;θ)=1θe−x/θ,x>0f(x;\theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, x>0 şeklindedir.)

  1. n−1∑i=1nXi\frac{n-1}{\sum_{i=1}^n X_i}Cevap
  2. B
    n∑i=1nXi\frac{n}{\sum_{i=1}^n X_i}
  3. C
    1n∑i=1n1Xi\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{X_i}
  4. D
    n+1∑i=1nXi\frac{n+1}{\sum_{i=1}^n X_i}
  5. E
    ∑i=1nXin\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}

Cevap

n−1∑i=1nXi\frac{n-1}{\sum_{i=1}^n X_i} ifadesi istenilen UMVUE değeridir.
Lehmann-Scheffe teoremine göre, bir parametrenin UMVUE'sini bulmak için tam ve yeterli istatistiğin yansız bir fonksiyonunu elde etmek gerekir. Xi∼U¨stel(θ)X_i \sim \text{Üstel}(\theta) olduğunda, T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i istatistiği θ\theta için tam ve yeterlidir. Toplamın dağılımı T∼Gamma(n,θ)T \sim \text{Gamma}(n, \theta)'dır. Bizden λ=1/θ\lambda = 1/\theta tahmin edicisi istenmektedir. Gamma dağılımında E[1/T]=1/((n−1)θ)E[1/T] = 1 / ((n-1)\theta)'dır. Eşitliğin her iki tarafını (n−1)(n-1) ile çarptığımızda E[(n−1)/T]=1/θ=λE[(n-1)/T] = 1/\theta = \lambda elde ederiz. Bu ifade yansızdır ve tam yeterli istatistiğin bir fonksiyonu olduğu için benzersiz UMVUE'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Tam ve yeterli istatistiğin belirlenmesi
T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i istatistiğinin θ\theta için tam ve yeterli olduğu tespit edilir.
Üstel dağılım üstel aileye aittir ve Neyman çarpanlara ayırma teoremine göre toplam istatistiği tam ve yeterlidir.
2
Yeterli istatistiğin örnekleme dağılımının bulunması
T∼Gamma(n,θ)T \sim \text{Gamma}(n, \theta) olduğu belirlenir.
Bağımsız üstel dağılımlı rastgele değişkenlerin toplamı Gamma dağılımı gösterir.
3
İstenen parametre yapısı için beklenen değer (ters moment) hesaplaması
E[1T]=1(n−1)θE\left[\frac{1}{T}\right] = \frac{1}{(n-1)\theta} olarak hesaplanır.
Gamma dağılımının özellikleri kullanılarak E[T−1]E[T^{-1}] integrali çözüldüğünde yansızlık için (n−1)(n-1) çarpanının gerektiği görülür.
4
Lehmann-Scheffe teoreminin uygulanması
E[n−1T]=1θ=λE\left[\frac{n-1}{T}\right] = \frac{1}{\theta} = \lambda eşitliğinden hareketle n−1∑i=1nXi\frac{n-1}{\sum_{i=1}^n X_i} sonucuna ulaşılır.
Tam ve yeterli istatistiğin yansız bir fonksiyonu her zaman tek (unique) UMVUE'dir.

Anahtar Kavram

Tamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)
Bu soruyu puanla

Konular

Tamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

Bu konudan daha fazla soru