Examkin

Basit Doğrusal Regresyon Analizi

143 soru

Soru 141Soru →

Bir büyükşehir belediyesi Çevre Koruma Daire Başkanlığı, ilçelerdeki kişi başına düşen yeşil alan miktarı (xix_i, metrekare) ile yaz aylarındaki ortalama yüzey sıcaklığı (yiy_i, ∘C^{\circ}\text{C}) arasındaki ilişkiyi incelemek için rastgele seçilen 10 farklı ilçeden veri toplamıştır. Elde edilen verilere ilişkin özet istatistikler aşağıda verilmiştir:

n=10n = 10
∑i=110xi=40\sum_{i=1}^{10} x_i = 40
∑i=110yi=100\sum_{i=1}^{10} y_i = 100
∑i=110xi2=200\sum_{i=1}^{10} x_i^2 = 200
∑i=110yi2=1032\sum_{i=1}^{10} y_i^2 = 1032
∑i=110xiyi=320\sum_{i=1}^{10} x_i y_i = 320

Buna göre, En Küçük Kareler (EKK) yöntemi kullanılarak tahmin edilen basit doğrusal regresyon denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \hat{y}_i = 18 - 2x_i

Cevap

Doğru model \hat{y}_i = 18 - 2x_i şeklindedir.
Verilen özet istatistikler kullanılarak önce değişkenlerin ortalamaları (xˉ=4\bar{x}=4, yˉ=10\bar{y}=10) hesaplanır. Eğim katsayısı (β^1\hat{\beta}_1) için pay SSxy=∑xiyi−nxˉyˉ=320−10(4)(10)=−80SS_{xy} = \sum x_i y_i - n\bar{x}\bar{y} = 320 - 10(4)(10) = -80 ve payda SSxx=∑xi2−nxˉ2=200−10(42)=40SS_{xx} = \sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 200 - 10(4^2) = 40 olarak bulunur. Buradan eğim β^1=−80/40=−2\hat{\beta}_1 = -80/40 = -2 elde edilir. Sabit terim (β^0\hat{\beta}_0) ise yˉ−β^1xˉ=10−(−2)(4)=18\bar{y} - \hat{\beta}_1\bar{x} = 10 - (-2)(4) = 18 olarak hesaplanır. Sonuç olarak tahmin edilen model y^i=18−2xi\hat{y}_i = 18 - 2x_i olur.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem ortalamalarının hesaplanması.
\bar{x} = \frac{40}{10} = 4 \quad \text{ve} \quad \bar{y} = \frac{100}{10} = 10
Eğim ve sabit terim formüllerinde sapmaları bulmak için.
2
Kareler ve çarpımlar toplamı sapmalarının (SSxx ve SSxy) bulunması.
SS_{xx} = 200 - 10(4^2) = 40 \quad \text{ve} \quad SS_{xy} = 320 - 10(4)(10) = -80
EKK eğim katsayısı formülünün pay ve paydasını oluşturmak için.
3
Eg˘imkatsayısının(β^1)hesaplanması.Eğim katsayısının (\hat{\beta}_1) hesaplanması.
β^1=−8040=−2\hat{\beta}_1 = \frac{-80}{40} = -2
Bağımsız değişkendeki bir birimlik artışın bağımlı değişkendeki etkisini bulmak için.
4
Sabitterimin(β^0)hesaplanması.Sabit terimin (\hat{\beta}_0) hesaplanması.
\hat{\beta}_0 = 10 - (-2)(4) = 10 + 8 = 18
Regresyon doğrusunun Y eksenini kestiği noktayı formül (\bar{y} - \hat{\beta}_1\bar{x}) ile bulmak için.

Anahtar Kavram

En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi ile Parametre Tahmini
Soru 142Soru →

Bir üretim tesisinde görevli mühendis, makinelerin günlük çalışma süresi (XX, saat) ile tükettikleri enerji miktarı (YY, kW) arasındaki ilişkiyi incelemek için 20 günlük bir veri seti derlemiştir.

Verilere ait hesaplanan özet istatistikler şöyledir:
- Xˉ=8\bar{X} = 8 ve Yˉ=15\bar{Y} = 15
- ∑i=120(Xi−Xˉ)2=100\sum_{i=1}^{20} (X_i - \bar{X})^2 = 100
- ∑i=120(Yi−Yˉ)2=400\sum_{i=1}^{20} (Y_i - \bar{Y})^2 = 400

Mühendis, istatistik yazılımına verileri girerken bağımlı ve bağımsız değişkenleri yanlışlıkla ters atamış, XX'in YY üzerine basit doğrusal regresyonunu (Xi=α0+α1Yi+viX_i = \alpha_0 + \alpha_1 Y_i + v_i) tahmin ederek bu yanlış modelin eğim katsayısını α^1=0,2\hat{\alpha}_1 = 0,2 bulmuştur.

Eğer mühendis değişkenleri doğru atayıp EKK yöntemine uygun olarak YY'nin XX üzerine regresyon modelini (Yi=β0+β1Xi+εiY_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i) kursaydı, doğru modelin sabit terimi (β^0\hat{\beta}_0) ve eğim katsayısı (β^1\hat{\beta}_1) sırasıyla aşağıdakilerden hangisi olurdu?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: β^0=8,6\hat{\beta}_0 = 8,6 ve β^1=0,8\hat{\beta}_1 = 0,8

Cevap

Doğru modelin parametreleri β^0=8,6\hat{\beta}_0 = 8,6 ve β^1=0,8\hat{\beta}_1 = 0,8 olarak hesaplanmalıdır.
EKK yönteminde Y'nin X üzerine regresyonunda eğim katsayısı β^1=∑(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)∑(Xi−Xˉ)2\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2} formülü ile hesaplanırken, X'in Y üzerine regresyonunda α^1=∑(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)∑(Yi−Yˉ)2\hat{\alpha}_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (Y_i - \bar{Y})^2} formülü kullanılır. Soru metninde verilen α^1=0,2\hat{\alpha}_1 = 0,2 ve ∑(Yi−Yˉ)2=400\sum (Y_i - \bar{Y})^2 = 400 değerleri kullanılarak ortak olan pay kısmı (çapraz çarpımlar toplamı) 0,2×400=800,2 \times 400 = 80 olarak bulunur. Doğru modelin eğim katsayısı için bu değer XX'in kareler toplamına bölünür: 80/100=0,880 / 100 = 0,8. Son olarak, regresyon doğrusu (Xˉ,Yˉ)(\bar{X}, \bar{Y}) noktasından geçtiği için sabit terim β^0=15−(0,8×8)=8,6\hat{\beta}_0 = 15 - (0,8 \times 8) = 8,6 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Yanlış kurulan X'in Y üzerine regresyon modelinin eğim katsayısı formülünü kullanarak çapraz çarpımlar toplamını bulmak.
α^1=∑(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)∑(Yi−Yˉ)2  ⟹  0,2=∑(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)400  ⟹  ∑(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)=80\hat{\alpha}_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (Y_i - \bar{Y})^2} \implies 0,2 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{400} \implies \sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) = 80
Her iki regresyon modelinde de eğim katsayısının pay kısmı (çapraz çarpımlar toplamı veya kovaryans) aynıdır. Bu ortak değeri bularak doğru modelin eğimine geçiş yapılabilir.
2
Bulunan çapraz çarpımlar toplamını, doğru modelin (Y'nin X üzerine) bağımsız değişkeni olan X'in kareler toplamına bölerek eğim katsayısını hesaplamak.
β^1=∑(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)∑(Xi−Xˉ)2=80100=0,8\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2} = \frac{80}{100} = 0,8
Y'nin X üzerine regresyonunda, açıklayıcı değişken X olduğu için formülün paydasında X'in sapmalarının kareler toplamı yer almalıdır.
3
Regresyon doğrusunun ortalamalar noktasından geçme özelliğini kullanarak EKK sabit terimini hesaplamak.
β^0=Yˉ−β^1Xˉ=15−(0,8×8)=15−6,4=8,6\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X} = 15 - (0,8 \times 8) = 15 - 6,4 = 8,6
EKK tahmincilerinin temel özelliklerinden biri, kurulan regresyon modelinin bağımlı ve bağımsız değişkenlerin örneklem ortalamalarından (Xˉ,Yˉ\bar{X}, \bar{Y}) geçmek zorunda olmasıdır.

Anahtar Kavram

En Küçük Kareler (EKK) tahmincilerinin hesaplanmasında bağımlı ve bağımsız değişkenlerin rolü ve simetrik olmayan eğim katsayısı özelliği.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 143Soru →

Bir sosyal politika araştırmacısı, hanehalklarının aylık gıda harcamaları (YY) ile hanehalkı aylık harcanabilir geliri (XX) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla n=100n=100 hanelik bir örneklem üzerinden basit doğrusal regresyon analizi uygulamıştır.

Analiz sonucunda elde edilen Varyans Analizi (ANOVA) tablosunda; modelin Regresyon Kareler Toplamı (SSR) 24002400 ve Hata Kareler Toplamı (SSE) 600600 olarak raporlanmıştır.

Buna göre, tahmin edilen bu modelin belirtme katsayısının (R2R^2) değeri ve istatistiksel olarak en doğru yorumu aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,800,80; Gıda harcamalarındaki toplam değişkenliğin %80'i, hanehalkı aylık harcanabilir geliri tarafından açıklanmaktadır.

Cevap

Modelin belirtme katsayısı 0,800,80'dir ve bu değer gıda harcamalarındaki toplam değişkenliğin %80'inin gelir tarafından açıklandığını gösterir.
Varyans analizi tablosuna göre toplam değişkenlik SST=2400+600=3000SST = 2400 + 600 = 3000'dir. Belirtme katsayısı R2=2400/3000=0,80R^2 = 2400 / 3000 = 0,80 olarak bulunur. Bu oran, bağımlı değişkendeki varyansın ne kadarının bağımsız değişken tarafından açıklandığını gösterdiği için doğru yorum '%80 açıklama oranıdır' şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel Kareler Toplamını (SST) hesapla.
SST=SSR+SSE=2400+600=3000SST = SSR + SSE = 2400 + 600 = 3000
Belirtme katsayısını (R2R^2) bulabilmek için toplam varyansı bilmemiz gerekir.
2
Belirtme katsayısı (R2R^2) formülünü uygula.
R2=SSRSST=24003000=0,80R^2 = \frac{SSR}{SST} = \frac{2400}{3000} = 0,80
Modelin açıklayıcılık gücü, regresyon kareler toplamının genel kareler toplamına oranıdır.
3
R2R^2 değerini istatistiksel olarak yorumla.
Bağımlı değişkendeki (gıda harcamaları) değişkenliğin %80'i, bağımsız değişken (gelir) ile açıklanmaktadır.
Belirtme katsayısı her zaman 'açıklanan varyansın toplam varyansa oranı' şeklinde yüzdelik veya oransal olarak yorumlanır; bir nedensellik belirtmez.

Anahtar Kavram

Belirtme Katsayısının (R2R^2) Hesaplanması ve Yorumu
ÖncekiSayfa 8 / 8
Basit Doğrusal Regresyon Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 8 | Examkin