Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEn Küçük Kareler (EKK) Yöntemi ve Parametre Tahmini

Bir büyükşehir belediyesi Çevre Koruma Daire Başkanlığı, ilçelerdeki kişi başına düşen yeşil alan miktarı (xix_i, metrekare) ile yaz aylarındaki ortalama yüzey sıcaklığı (yiy_i, ∘C^{\circ}\text{C}) arasındaki ilişkiyi incelemek için rastgele seçilen 10 farklı ilçeden veri toplamıştır. Elde edilen verilere ilişkin özet istatistikler aşağıda verilmiştir:

n=10n = 10
∑i=110xi=40\sum_{i=1}^{10} x_i = 40
∑i=110yi=100\sum_{i=1}^{10} y_i = 100
∑i=110xi2=200\sum_{i=1}^{10} x_i^2 = 200
∑i=110yi2=1032\sum_{i=1}^{10} y_i^2 = 1032
∑i=110xiyi=320\sum_{i=1}^{10} x_i y_i = 320

Buna göre, En Küçük Kareler (EKK) yöntemi kullanılarak tahmin edilen basit doğrusal regresyon denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. \hat{y}_i = 18 - 2x_iCevap
  2. B
    \hat{y}_i = 20 - 2,5x_i
  3. C
    \hat{y}_i = 2 + 2x_i
  4. D
    \hat{y}_i = 2 - 2x_i
  5. E
    \hat{y}_i = 1,6x_i

Cevap

Doğru model \hat{y}_i = 18 - 2x_i şeklindedir.
Verilen özet istatistikler kullanılarak önce değişkenlerin ortalamaları (xˉ=4\bar{x}=4, yˉ=10\bar{y}=10) hesaplanır. Eğim katsayısı (β^1\hat{\beta}_1) için pay SSxy=∑xiyi−nxˉyˉ=320−10(4)(10)=−80SS_{xy} = \sum x_i y_i - n\bar{x}\bar{y} = 320 - 10(4)(10) = -80 ve payda SSxx=∑xi2−nxˉ2=200−10(42)=40SS_{xx} = \sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 200 - 10(4^2) = 40 olarak bulunur. Buradan eğim β^1=−80/40=−2\hat{\beta}_1 = -80/40 = -2 elde edilir. Sabit terim (β^0\hat{\beta}_0) ise yˉ−β^1xˉ=10−(−2)(4)=18\bar{y} - \hat{\beta}_1\bar{x} = 10 - (-2)(4) = 18 olarak hesaplanır. Sonuç olarak tahmin edilen model y^i=18−2xi\hat{y}_i = 18 - 2x_i olur.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem ortalamalarının hesaplanması.
\bar{x} = \frac{40}{10} = 4 \quad \text{ve} \quad \bar{y} = \frac{100}{10} = 10
Eğim ve sabit terim formüllerinde sapmaları bulmak için.
2
Kareler ve çarpımlar toplamı sapmalarının (SSxx ve SSxy) bulunması.
SS_{xx} = 200 - 10(4^2) = 40 \quad \text{ve} \quad SS_{xy} = 320 - 10(4)(10) = -80
EKK eğim katsayısı formülünün pay ve paydasını oluşturmak için.
3
Eg˘imkatsayısının(β^1)hesaplanması.Eğim katsayısının (\hat{\beta}_1) hesaplanması.
β^1=−8040=−2\hat{\beta}_1 = \frac{-80}{40} = -2
Bağımsız değişkendeki bir birimlik artışın bağımlı değişkendeki etkisini bulmak için.
4
Sabitterimin(β^0)hesaplanması.Sabit terimin (\hat{\beta}_0) hesaplanması.
\hat{\beta}_0 = 10 - (-2)(4) = 10 + 8 = 18
Regresyon doğrusunun Y eksenini kestiği noktayı formül (\bar{y} - \hat{\beta}_1\bar{x}) ile bulmak için.

Anahtar Kavram

En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi ile Parametre Tahmini
Bu soruyu puanla

Konular

En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi ve Parametre Tahmini

Bu konudan daha fazla soru