Basit Doğrusal Regresyon Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 7

Soru 121Soru →

Bir kamu kurumu uzmanı, illerin yıllık ihracat hacmi ( $Y$ ) ile Ar-Ge harcamaları ( $X$ ) arasındaki ilişkiyi incelemek için küçük bir örneklem ( $n=16$ ) kullanarak $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i$ biçiminde basit doğrusal bir regresyon modeli kurmuş ve model parametrelerini En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin etmiştir. Model kalıntıları (artıkları) üzerinden gerçekleştirilen tanısal testlerin sonuçları aşağıda özetlenmiştir:

- Breusch-Pagan testi: Sıfır hipotezi $\%5$ anlamlılık düzeyinde reddedilememiştir.
- Durbin-Watson testi: Test istatistiği ( $d$ ) $2,08$ olarak hesaplanmıştır.
- Jarque-Bera testi: Hata terimlerinin normal dağıldığını ifade eden sıfır hipotez $\%1$ anlamlılık düzeyinde reddedilmiştir.

Araştırmacının kurduğu modelde spesifikasyon hatası olmadığı bilindiğine göre, EKK tahmin edicileri ve modele yönelik istatistiksel çıkarsamalar (hipotez testleri) hakkında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Durbin-Watson istatistiğinin

2

'ye yakın hesaplanması modelde kuvvetli bir pozitif otokorelasyon olduğuna işaret eder ve bu durum hipotez testlerini geçersiz kılar.

Normallik varsayımının ihlali, EKK tahmin edicilerinin sapmasızlığını bozmasa da Gauss-Markov teoremine göre tahmin edicilerin etkinliğini (en küçük varyansa sahip olmasını) ortadan kaldırır.

Hata terimlerinin normal dağılmaması yalnızca modelin genel anlamlılığını sınayan

F

testini geçersiz kılar; parametrelerin bireysel anlamlılığını sınayan

t

testi normallik varsayımına ihtiyaç duymaz.

EKK tahmin edicileri sapmasız ve en küçük varyanslı (BLUE) olma özelliklerini korur; ancak örneklem küçük olduğu için parametrelere yönelik

t

ve

F

testlerinin sonuçları güvenilir değildir.

Breusch-Pagan testi hata terimleri arasında otokorelasyon olmadığını kanıtladığından, normallik varsayımı ihlal edilse dahi yapılan tüm istatistiksel çıkarsamalar kesinlikle güvenilirdir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: EKK tahmin edicileri sapmasız ve en küçük varyanslı (BLUE) olma özelliklerini korur; ancak örneklem küçük olduğu için parametrelere yönelik $t$ ve $F$ testlerinin sonuçları güvenilir değildir.

Cevap

EKK tahmin edicileri sapmasız ve en küçük varyanslı (BLUE) olma özelliklerini korur; ancak örneklem küçük olduğu için parametrelere yönelik t ve F testlerinin sonuçları güvenilir değildir.

Verilen senaryoda Breusch-Pagan testi sabit varyans olduğunu, Durbin-Watson testi ise otokorelasyon olmadığını göstermektedir. Bu Gauss-Markov varsayımları sağlandığı için EKK tahmin edicileri sapmasız ve en küçük varyanslı (BLUE) olma özelliklerini taşır. Ancak Jarque-Bera testi normallik varsayımının ihlal edildiğini göstermektedir. Normallik varsayımı EKK'nın BLUE olması için gerekli değildir, fakat küçük örneklemlerde (n=16) t ve F hipotez testlerinin dağılımlarının geçerli olabilmesi için zorunludur. Dolayısıyla tahmin ediciler en iyidir ancak test sonuçlarına güvenilemez.

Adım Adım Çözüm

1

Breusch-Pagan testi sonucunu değerlendirmek

Sıfır hipotezi reddedilemediği için modelde değişen varyans (heteroskedastisite) problemi yoktur, sabit varyans varsayımı sağlanmaktadır.

Bu test sabit varyans varsayımını sınar ve ihlal edilmemesi tahmin edicilerin etkinliğini (minimum varyans) korumasını sağlar.

2

Durbin-Watson test sonucunu değerlendirmek

d = 2,08 değeri 2'ye çok yakın olduğundan, hata terimleri arasında birinci dereceden otokorelasyon bulunmadığı sonucuna varılır.

Otokorelasyonun olmaması da tahmin edicilerin etkin (minimum varyanslı) olmasının temel şartlarından biridir.

3

Gauss-Markov teoreminin geçerliliğini kontrol etmek

Sabit varyans ve otokorelasyonsuzluk sağlandığı için EKK tahmin edicileri sapmasız ve en küçük varyanslı (BLUE) olmaya devam eder.

Gauss-Markov teoremi normallik varsayımını içermez; BLUE olabilmek için hata terimlerinin normal dağılması şart değildir.

4

Jarque-Bera testi sonucunu ve küçük örneklem etkisini değerlendirmek

Normallik varsayımı ihlal edilmiştir. Örneklem küçük (n=16) olduğu için, katsayılara yönelik t ve model geneline yönelik F testleri geçersiz hale gelir.

Küçük örneklemlerde istatistiksel testlerin (t ve F) doğru sonuç verebilmesi, hata terimlerinin normal dağılmasına (u ~ N(0, σ²)) sıkı sıkıya bağlıdır.

Anahtar Kavram

Gauss-Markov Teoremi ve İstatistiksel Çıkarsama

Soru 122Soru →

Bir kamu kurumu, ilçelerin sosyoekonomik gelişmişlik endeksi ( $X$ ) ile o ilçelerde kişi başına düşen belediye harcamaları ( $Y$ , bin TL) arasındaki ilişkiyi incelemek için basit doğrusal regresyon analizi yapmıştır. Rastgele seçilen $n = 42$ ilçe için tahmin edilen modele göre, sosyoekonomik gelişmişlik endeksinin eğim katsayısı $\hat{\beta}_1 = 3,6$ ve bu katsayının standart hatası $S_{\hat{\beta}_1} = 0,9$ olarak hesaplanmıştır.

Araştırmacı, sosyoekonomik gelişmişlik düzeyinin belediye harcamaları üzerinde istatistiksel olarak anlamlı bir etkisi olup olmadığını test etmek istemektedir.

Buna göre, kurulacak hipotez, hesaplanan test istatistiği, serbestlik derecesi ( $sd$ ) ve testin yorumu ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Test istatistiği

t = 4,0

ve

sd = 40

'tır; uygulanan bu t-testi ile

H_0: \beta_1 = 0

hipotezi kurularak bağımsız değişkenin bağımlı değişken üzerindeki bireysel etkisi sınanır.

Test istatistiği

t = 4,0

ve

sd = 41

'dir;

H_0: \beta_1 = 0

hipotezi reddedilirse bağımsız değişkenin bağımlı değişken üzerinde istatistiksel olarak anlamlı bir etkisi olduğu sonucuna varılır.

Test istatistiği

t = 4,0

ve

sd = 40

'tır; uygulanan bu t-testinin istatistiksel literatürdeki temel işlevi bireysel parametreleri değil, doğrudan modelin bütünsel (genel) anlamlılığını test etmektir.

Test istatistiği

t = 4,0

ve

sd = 40

'tır; araştırmacının amacı etkinin varlığını araştırmak olduğundan

H_1: \beta_1 > 0

şeklinde tek yönlü alternatif hipotez kurulmalıdır.

Test istatistiği

t = 4,0

ve

sd = 42

'dir; testin istatistiksel olarak anlamlı çıkması EKK tahmincisinin sapmasız ve en küçük varyanslı (etkin) olduğunu kanıtlar.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Test istatistiği $t = 4,0$ ve $sd = 40$ 'tır; uygulanan bu t-testi ile $H_0: \beta_1 = 0$ hipotezi kurularak bağımsız değişkenin bağımlı değişken üzerindeki bireysel etkisi sınanır.

Cevap

Hesaplanan test istatistiği

t = 4,0

ve serbestlik derecesi

40

'tır. Testin temel işlevi, çift yönlü bir hipotez kurarak bağımsız değişkenin bireysel anlamlılığını sınamaktır.

Verilen problemde eğim katsayısı

\hat{\beta}_1 = 3,6

ve standart hatası

0,9

olarak sunulmuştur. Bireysel anlamlılık testi için t hesap istatistiği

t = \hat{\beta}_1 / S_{\hat{\beta}_1} = 3,6 / 0,9 = 4,0

olarak bulunur. Basit doğrusal regresyon modelinde parametre testleri için serbestlik derecesi (

sd

), örneklem hacminden tahmin edilen parametre sayısı çıkarılarak (

n - 2

) bulunur, bu da

42 - 2 = 40

eder. Araştırmacı anlamlı bir etki aradığından çift yönlü hipotez (

H_1: \beta_1 \neq 0

) kurulur. Testin temel işlevi, kurulan

H_0: \beta_1 = 0

hipotezini sınayarak bağımsız değişkenin (gelişmişlik endeksinin) bağımlı değişken (belediye harcamaları) üzerindeki bireysel (marjinal) etkisini test etmektir. Doğru seçenek bu unsurların tamamını eksiksiz ifade etmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Eğim katsayısı (

\hat{\beta}_1

) ve standart hatası (

S_{\hat{\beta}_1}

) değerlerini kullanarak t hesap istatistiğini bul.

t_{hesap} = \frac{\hat{\beta}_1}{S_{\hat{\beta}_1}} = \frac{3,6}{0,9} = 4,0

Regresyon parametrelerinin istatistiksel anlamlılığı, katsayının kendi standart hatasına oranlanmasıyla hesaplanan t-testi istatistiği ile değerlendirilir.

2

Test için uygun serbestlik derecesini (sd) hesapla.

sd = n - 2 = 42 - 2 = 40

Basit doğrusal regresyon modelinde hata varyansı tahmin edilirken,

n

gözlemden kesişim (

\beta_0

) ve eğim (

\beta_1

) olmak üzere iki parametre tahmini yapıldığından serbestlik derecesi 2 birim azalır.

3

Araştırmanın amacına uygun hipotezi ve testin literatürdeki işlevini belirle.

Hipotez:

H_0: \beta_1 = 0

ve

H_1: \beta_1 \neq 0

. İşlev: Bireysel etkinin anlamlılığını test etmek.

'Anlamlı bir etkisi olup olmadığını' ifadesi, yön belirtmediği için çift yönlü testi gerektirir. t-testi modelin genelini (F-testinin görevi) değil, bireysel parametrelerin anlamlılığını ölçer.

Anahtar Kavram

Regresyon parametrelerinin bireysel anlamlılığının t-testi ile sınanması, test istatistiği (

t

) ve serbestlik derecesi (

n-2

) hesaplamaları.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 123Soru →

Bir kamu kurumunda görevli uzman, $Y$ bağımlı değişkeni ile $X$ bağımsız değişkeni arasındaki ilişkiyi tahmin etmek amacıyla EKK yöntemini kullanmış ve basit doğrusal regresyon denklemini $\hat{Y}_i = 25 + 4X_i$ şeklinde elde etmiştir.

Daha sonra raporlama standartlarına uymak için veri setinde bir ölçek dönüşümü yapmış; bağımlı değişkenin tüm değerlerini 5 ile ( $Y^*_i = 5Y_i$ ), bağımsız değişkenin tüm değerlerini ise 2 ile ( $X^*_i = 2X_i$ ) çarparak yeni bir veri seti oluşturmuştur.

Buna göre, uzman yeni değişkenlerle $Y^*_i = \alpha_0 + \alpha_1 X^*_i + u_i$ modelini EKK ile tahmin ettiğinde, elde edeceği yeni sabit terim ( $\hat{\alpha}_0$ ) ve eğim katsayısı ( $\hat{\alpha}_1$ ) değerleri aşağıdakilerden hangisinde sırasıyla ve doğru olarak verilmiştir?

\hat{\alpha}_0 = 125

ve

\hat{\alpha}_1 = 1,6

\hat{\alpha}_0 = 125

ve

\hat{\alpha}_1 = 20

\hat{\alpha}_0 = 125

ve

\hat{\alpha}_1 = 10

\hat{\alpha}_0 = 25

ve

\hat{\alpha}_1 = 10

\hat{\alpha}_0 = 50

ve

\hat{\alpha}_1 = 8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\hat{\alpha}_0 = 125$ ve $\hat{\alpha}_1 = 10$

Cevap

Yeni modelin sabit terimi 125, eğim katsayısı ise 10'dur.

Veri setinde yapılan doğrusal dönüşümler regresyon modelinin katsayılarını cebirsel kurallara göre değiştirir. Yeni bağımlı değişken

Y^*_i = 5Y_i

ve yeni bağımsız değişken

X^*_i = 2X_i

olduğunda, orijinal regresyon denklemi olan

\hat{Y}_i = 25 + 4X_i

'de

Y_i

yerine

Y^*_i/5

ve

X_i

yerine

X^*_i/2

yazılıp denklem

\hat{Y}^*_i

için çözüldüğünde

\hat{Y}^*_i = 125 + 10X^*_i

elde edilir. Bu nedenle yeni sabit terim 125, yeni eğim katsayısı ise 10 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Dönüşüm formüllerinden orijinal değişkenleri yalnız bırakma.

Y^*_i = 5Y_i \Rightarrow Y_i = \frac{Y^*_i}{5}

ve

X^*_i = 2X_i \Rightarrow X_i = \frac{X^*_i}{2}

ifadeleri elde edilir.

Orijinal tahmini regresyon denklemi üzerinden yeni katsayıları bulabilmek için değişkenlerin eski formlarının yerine yeni formlarının yazılması gerekir.

2

Elde edilen ifadeleri orijinal tahmini regresyon denkleminde (

\hat{Y}_i = 25 + 4X_i

) yerine koyma.

\frac{\hat{Y}^*_i}{5} = 25 + 4 \left( \frac{X^*_i}{2} \right)

denklemi kurulur.

Regresyon doğrusunun matematiksel özellikleri gereği, veri setindeki doğrusal dönüşümler doğrudan doğrunun denklemine yansıtılabilir.

3

Denklemi

\hat{Y}^*_i

bağımlı değişkenini yalnız bırakacak şekilde düzenleme.

Eşitliğin her iki tarafı 5 ile çarpılır:

\hat{Y}^*_i = 125 + 5 \times \left( \frac{4 X^*_i}{2} \right) \Rightarrow \hat{Y}^*_i = 125 + 10 X^*_i

bulunur.

Yeni regresyon denklemini

\hat{Y}^*_i = \hat{\alpha}_0 + \hat{\alpha}_1 X^*_i

standart formuna getirmek ve parametre tahminlerini doğrudan okuyabilmek için gereklidir.

4

Yeni parametre tahminlerini standart form ile karşılaştırarak belirleme.

Denklemden yola çıkılarak

\hat{\alpha}_0 = 125

ve

\hat{\alpha}_1 = 10

olarak tespit edilir.

Standart model formuyla elde edilen katsayıları eşleştirmek nihai sonuca ulaşmayı sağlar.

Anahtar Kavram

EKK Tahmincilerinde Veri Ölçeklendirme ve Lineer Dönüşüm

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak EKK formülleri doğrudan kullanılabilir:

\hat{\alpha}_1 = \frac{\sum x^*_i y^*_i}{\sum (x^*_i)^2} = \frac{\sum (2x_i)(5y_i)}{\sum (2x_i)^2} = \frac{10 \sum x_i y_i}{4 \sum x_i^2} = 2,5 \times \hat{\beta}_1 = 2,5 \times 4 = 10

. Yeni sabit terim ise

\hat{\alpha}_0 = \bar{Y}^* - \hat{\alpha}_1 \bar{X}^* = 5\bar{Y} - 10(2\bar{X}) = 5(\bar{Y} - 4\bar{X}) = 5 \times \hat{\beta}_0 = 5 \times 25 = 125

formülüyle doğrulanabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 124Soru →

Bir üretim işletmesinin maliyet yapısını inceleyen bir veri analisti, üretim miktarı ( $X$ ) ile toplam değişken maliyetler ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi modellemektedir. Üretim yapılmadığında ( $X=0$ ) değişken maliyetlerin de sıfır olması gerektiği kuramsal gerçeğinden yola çıkarak, analist veri setine sabit terim içermeyen (orijinden geçen) $Y_i = \beta X_i + u_i$ basit doğrusal regresyon modelini uygulamıştır.

Analistin tahmin ettiği bu modelin istatistiksel özellikleri ve aynı veri setine sabit terimli model uygulanması durumunda ortaya çıkacak farklılıklar bağlamında, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Orijinden geçen modelden elde edilen ham belirtme katsayısı (

R^2

), aynı veri setiyle kurulan sabit terimli modelin

R^2

değeri ile uyum iyiliğini doğrudan karşılaştırmak amacıyla kullanılabilir.

Sabit terim dışlandığı için, modelin genel anlamlılığını test eden F-istatistiği ile eğim katsayısının anlamlılığını test eden t-istatistiğinin karesi (

t^2

) arasındaki matematiksel eşitlik bozulur.

Eğer gerçek hata varyansları eşit varsayılırsa, bu modelde tahmin edilen eğim katsayısının varyansı, aynı verilerle tahmin edilen sabit terimli modele kıyasla her zaman daha küçük veya ona eşittir.

En Küçük Kareler tahmincisinin Gauss-Markov teoremine göre sapmasız olabilmesi için, modelden elde edilen artıkların (kalıntıların) toplamının sıfır olması matematiksel bir zorunluluktur.

Modelin kalıntı (hata) varyansı tahmin edilirken, parametre sayısındaki eksilme dikkate alınmayarak hata kareler toplamı standart modeldeki gibi

n-2

serbestlik derecesine bölünür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Eğer gerçek hata varyansları eşit varsayılırsa, bu modelde tahmin edilen eğim katsayısının varyansı, aynı verilerle tahmin edilen sabit terimli modele kıyasla her zaman daha küçük veya ona eşittir.

Cevap

Doğru cevap, orijinden geçen modelde tahmin edilen eğim katsayısının varyansının, sabit terimli modele kıyasla her zaman daha küçük veya eşit olduğunu ifade eden seçenektir.

Sabit terimli modelde eğim katsayısının varyansı

\frac{\sigma^2}{\sum (X_i - \bar{X})^2}

formülü ile hesaplanırken, sabit terim içermeyen (orijinden geçen) modelde bu varyans

\frac{\sigma^2}{\sum X_i^2}

olarak hesaplanır. Matematiksel bir özdeşlik olarak

\sum X_i^2 = \sum (X_i - \bar{X})^2 + n\bar{X}^2

olduğundan, orijinden geçen modelin varyans paydası, sabit terimli modelin paydasından her zaman daha büyük veya en azından ona eşittir (eğer

\bar{X} = 0

ise). Bu nedenle, aynı veri seti ve eşit hata varyansı (

\sigma^2

) varsayımı altında, paydası daha büyük olan orijinden geçen modelin eğim katsayısının varyansı daha küçük (veya eşit) çıkacaktır. Bu özellik, RTO modelinin tahmin kesinliğine dair temel bir teorik bilgidir.

Adım Adım Çözüm

1

Sabit terimsiz regresyon modelinde (RTO) eğim katsayısının varyans formülünü belirle.

Var(\hat{\beta}_{RTO}) = \frac{\sigma^2}{\sum X_i^2}

formülü elde edilir.

Orijinden geçen modellerde ortalamadan sapmalar kullanılmaz, doğrudan bağımsız değişkenin ham kareler toplamı paydada yer alır.

2

Sabit terimli modelde eğim katsayısının varyans formülünü hatırla.

Var(\hat{\beta}_{OLS}) = \frac{\sigma^2}{\sum (X_i - \bar{X})^2}

formülü geçerlidir.

Standart modelde eğim katsayısının varyansı, bağımsız değişkenin ortalama merkezli kareler toplamına (varyansına) bölünerek bulunur.

3

İki varyans formülünün paydalarını matematiksel olarak karşılaştır.

\sum X_i^2 = \sum (X_i - \bar{X})^2 + n\bar{X}^2

özdeşliğinden dolayı,

\sum X_i^2 \geq \sum (X_i - \bar{X})^2

olduğu görülür.

Örneklem ortalamasının karesi negatif olamayacağından, ham kareler toplamı daima merkezileştirilmiş kareler toplamından büyük veya en kötü ihtimalle ona eşittir.

4

Payda büyüklüğünün varyans üzerindeki etkisini yorumla.

Gerçek hata varyanslarının (

\sigma^2

) eşit olduğu varsayımı altında, paydası daha büyük olan RTO modelinin eğim katsayısı varyansının daha küçük (veya eşit) olacağı kanıtlanır.

Bir kesirde payda büyüdükçe elde edilen sonuç küçüleceği için, RTO modelinin tahmincisi varyans açısından daha avantajlı (kesin) görünür.

5

Diğer seçeneklerde yer alan RTO ile ilgili yaygın kavramsal hataları tespit et.

Serbestlik derecesinin

n-1

olması gerektiği, ham

R^2

'nin sabit terimli modellerle karşılaştırılamayacağı ve artıkların toplamının sıfır olma zorunluluğu olmadığı doğrulanarak diğer seçenekler elenir.

Çeldirici seçenekler özellikle model seçimi, Gauss-Markov varsayımları ve test istatistiklerinin teorik yapısındaki yaygın öğrenci yanılgıları üzerine kurgulanmıştır.

Anahtar Kavram

Orijinden Geçen Regresyon Modelinin Teorik Özellikleri ve EKK Tahmincisinin Varyansı

Soru 125Soru →

Devlet Su İşleri (DSİ) Genel Müdürlüğü bünyesinde çalışan bir araştırmacı, $n = 102$ farklı tarım havzasındaki yıllık ortalama yağış miktarı ( $X$ , mm) ile yer altı su seviyesindeki değişim ( $Y$ , cm) arasındaki ilişkiyi incelemek için basit doğrusal regresyon analizi uygulamıştır.

Analiz sonucunda elde edilen kısmi varyans analizi (ANOVA) tablosu aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (SD)	Kareler Toplamı (KT)	Kareler Ortalaması (KO)	F
Regresyon	$1$	$?$	$24000$	$?$
Hata (Artık)	$?$	$?$	$?$
Genel (Toplam)	$?$	$?$

Araştırmacı, kurulan bu modelin bağımlı değişkendeki toplam varyasyonun (değişkenliğin) %80'ini açıkladığını raporlamıştır.

Buna göre, tabloda boş bırakılan F test istatistiği değeri kaçtır?

20

80

400

404

408

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 400

Cevap

Modelin genel anlamlılığını sınayan F test istatistiği 400'dür.

Basit regresyonda

MSR = SSR = 24000

'dir.

R^2 = 0.80

olduğundan,

SST = 24000 / 0.80 = 30000

ve dolayısıyla

SSE = 30000 - 24000 = 6000

'dir.

n=102

için hata serbestlik derecesi

102-2 = 100

'dür. Buradan

MSE = 6000 / 100 = 60

ve genel anlamlılık sınaması için

F = 24000 / 60 = 400

hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Regresyon serbestlik derecesini ve Regresyon Kareler Toplamını (SSR) belirle.

SD_{reg} = 1

ve

SSR = 24000

.

Model basit doğrusal regresyon olduğu için regresyon serbestlik derecesi 1'dir. Kareler ortalaması (MSR) formülü

SSR / SD_{reg}

olduğundan,

SSR = 24000 \times 1 = 24000

olur.

2

Belirtme katsayısını (

R^2

) kullanarak Genel Kareler Toplamını (SST) hesapla.

SST = 30000

.

Model, varyasyonun %80'ini açıkladığı için

R^2 = 0.80

'dir.

R^2 = SSR / SST

eşitliğinden

0.80 = 24000 / SST

işlemi yapılır ve

SST = 30000

bulunur.

3

Hata Kareler Toplamını (SSE) bul.

SSE = 6000

.

Varyans analizinde genel kareler toplamı, regresyon ve hata kareler toplamlarının bütünüdür (

SST = SSR + SSE

). Bu nedenle

SSE = 30000 - 24000 = 6000

elde edilir.

4

Hata serbestlik derecesini (

SD_{hata}

) ve Hata Kareler Ortalamasını (MSE) hesapla.

SD_{hata} = 100

ve

MSE = 60

.

Örneklem hacmi

n = 102

olarak verilmiştir. Basit regresyonda hata serbestlik derecesi

n - 2

formülü ile bulunur (

102 - 2 = 100

). Kareler ortalaması

MSE = SSE / SD_{hata} = 6000 / 100 = 60

olarak saptanır.

5

Genel anlamlılık için F test istatistiğini hesapla.

F = 400

.

F test istatistiği, Regresyon Kareler Ortalamasının (MSR) Hata Kareler Ortalamasına (MSE) oranıdır.

F = 24000 / 60 = 400

sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Basit Doğrusal Regresyonda Varyans Analizi (ANOVA) ve F-Testi

Soru 126Soru →

Eğitim harcamaları ile gelir düzeyi arasındaki ilişkiyi araştıran bir akademisyen, kurduğu tek açıklayıcı değişkenli doğrusal regresyon modelinde EKK (En Küçük Kareler) yöntemini kullanmıştır. Varsayım kontrolleri aşamasında; modelin kalıntılarının (artıkların) varyansının tüm gözlemler için sabit kaldığı ve gözlemler arası ardışık bir korelasyon barındırmadığı saptanmıştır. Bununla birlikte, kalıntıların normal dağılıma uymadığı açıkça görülmüştür.

Bu modeldeki tahmin edicilerin taşıdığı istatistiksel özellikler ve parametrelere uygulanacak testler dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Tahmin ediciler sapmasızlık ve en küçük varyans (etkinlik) özelliklerini koruyarak BLUE olmaya devam eder, ancak küçük örneklemlerde parametreler için yapılacak standart

t

ve

F

testleri geçerliliğini yitirir.

Normallik varsayımının ihlali Gauss-Markov teoremini geçersiz kıldığından, tahmin ediciler sapmasızlık özelliğini sürdürse bile artık en küçük varyanslı (etkin) olma niteliklerini kaybeder.

Bu durum modelde değişen varyans problemi yaratacağı için, sorunun giderilmesinde otokorelasyonu ölçen Durbin-Watson testi yerine White veya Park testleri kullanılarak katsayılar düzeltilmelidir.

Kalıntıların normal dağılmaması Durbin-Watson test istatistiğinin değerini doğrudan etkiler; test istatistiği

2

'ye yaklaştıkça hata terimleri arasındaki negatif yöndeki ilişki güçlenir.

Dağılımın asimetrik olması, bağımsız değişkenler ile hata terimi arasında yapısal bir doğrusal bağlantı oluşturarak EKK tahmin edicilerinin sapmalı (yanlı) sonuçlar üretmesine yol açar.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tahmin ediciler sapmasızlık ve en küçük varyans (etkinlik) özelliklerini koruyarak BLUE olmaya devam eder, ancak küçük örneklemlerde parametreler için yapılacak standart $t$ ve $F$ testleri geçerliliğini yitirir.

Cevap

Tahmin ediciler sapmasızlık ve en küçük varyans (etkinlik) özelliklerini koruyarak BLUE olmaya devam eder, ancak küçük örneklemlerde parametreler için yapılacak standart t ve F testleri geçerliliğini yitirir.

Gauss-Markov teoremine göre En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicilerinin 'En İyi Doğrusal Sapmasız Tahmin Edici' (BLUE) olabilmesi için modelin doğrusal olması, hata terimlerinin beklenen değerinin sıfır olması, varyansının sabit olması (homoskedastisite) ve hata terimleri arasında otokorelasyon bulunmaması yeterlidir. Normallik varsayımı, EKK tahmin edicilerinin sapmasızlık veya etkinlik özelliklerini etkilemez. Ancak, modeldeki parametrelerin istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını test etmek için kullanılan standart

t

ve

F

testlerinin, küçük örneklemlerde geçerli kritik değerler üretebilmesi hata terimlerinin normal dağılmasına bağlıdır. Bu nedenle, normallik sağlanamadığında EKK tahmin edicileri BLUE kalır fakat küçük örneklemlerde standart hipotez testleri güvenilmez hale gelir.

Adım Adım Çözüm

1

Modelde sağlanan varsayımları Gauss-Markov teoremi çerçevesinde değerlendirmek.

Varyansın sabit olması (homoskedastisite) ve ardışık bağımlılığın (otokorelasyonun) olmaması, doğrusal bir modelde EKK tahmin edicilerinin 'En İyi Doğrusal Sapmasız Tahmin Edici' (BLUE) olmasını garanti eder.

Gauss-Markov teoremi, EKK'nın BLUE olabilmesi için normallik varsayımına ihtiyaç duymaz.

2

Normallik varsayımının istatistiksel çıkarım (

t

ve

F

testleri) üzerindeki rolünü belirlemek.

Normallik varsayımı ihlal edildiğinde, tahmin edicilerin örneklem dağılımları tam olarak normal (veya Student-

t

) dağılım özelliği göstermez.

Standart hipotez testlerinin (

t

ve

F

) hesaplanan kritik değerleri, hata terimlerinin normal dağıldığı varsayımına dayanarak türetilmiştir.

3

Verilen iki durumu birleştirerek genel sonucu çıkarmak.

Tahmin ediciler sapmasız ve en küçük varyanslı (BLUE) kalmaya devam eder, ancak normalliğe dayalı testler küçük örneklem hacminde yanıltıcı sonuçlar verir.

Teorik özelliklerin korunması ile test dağılımlarının geçerliliği birbirinden farklı kavramlardır.

Anahtar Kavram

Gauss-Markov Teoremi ve Normallik Varsayımı Farkı

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 127Soru →

Bir endüstri mühendisi, $n = 12$ farklı makinenin haftalık bakım süresi ( $X$ , saat) ile aylık arıza sayısı ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi analiz etmek için basit doğrusal regresyon modeli kurmuştur. Elde edilen sonuçlara göre, bakım süresi değişkeninin eğim katsayısı tahmini $\hat{\beta}_1 = -1.2$ ve bu katsayının standart hatası $S_{\hat{\beta}_1} = 0.3$ olarak hesaplanmıştır.

Varyans analizi (ANOVA) tablosunda Hata Kareler Toplamı (HKT) $660$ olduğuna göre, modelin Toplam Kareler Toplamı (TKT) değeri kaçtır?

924

1056

1540

1620

1716

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1716

Cevap

1716

Basit doğrusal regresyon modelinde, modelin genel anlamlılığını veren F istatistiği, eğim katsayısının t istatistiğinin karesine eşittir (

F = t^2

). Verilen katsayı ve standart hata ile

t = -1.2 / 0.3 = -4

bulunur. Buradan

F = (-4)^2 = 16

elde edilir. Hata Kareler Ortalaması (HKO),

n-2

serbestlik derecesi ile

HKO = 660 / 10 = 66

olarak hesaplanır.

F = RKO / HKO

formülünden

RKO = 16 \times 66 = 1056

bulunur. Basit regresyonda Regresyon serbestlik derecesi 1 olduğu için

RKT = RKO = 1056

'dır. Son olarak

TKT = RKT + HKT = 1056 + 660 = 1716

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Eğim katsayısına ait t istatistiğinin hesaplanması

t = \frac{\hat{\beta}_1}{S_{\hat{\beta}_1}} = \frac{-1.2}{0.3} = -4

Katsayının anlamlılığını test etmek ve F istatistiğine geçiş yapmak

2

Basit doğrusal regresyonda F istatistiğinin bulunması

F = t^2 = (-4)^2 = 16

Basit regresyonda modelin genel anlamlılığını sınayan F test istatistiği, t istatistiğinin karesine eşittir

3

Hata Kareler Ortalamasının (HKO) hesaplanması

HKO = \frac{HKT}{n - 2} = \frac{660}{12 - 2} = \frac{660}{10} = 66

Varyans analizinde HKO'yu bulmak için HKT, serbestlik derecesi olan n-2'ye bölünür

4

Regresyon Kareler Toplamının (RKT) bulunması

RKT = F \times HKO = 16 \times 66 = 1056

Basit regresyonda Regresyon Serbestlik Derecesi 1 olduğundan RKO doğrudan RKT'ye eşittir ve

F = \frac{RKO}{HKO}

eşitliğinden RKT elde edilir

5

Toplam Kareler Toplamının (TKT) hesaplanması

TKT = RKT + HKT = 1056 + 660 = 1716

Toplam sapma, regresyon tarafından açıklanan sapma ile açıklanamayan hata sapmasının toplamıdır

Anahtar Kavram

Basit Doğrusal Regresyonda F ve t İstatistikleri İlişkisi ve ANOVA Tablosu

Soru 128Soru →

Bir Ulaştırma ve Altyapı Bakanlığı uzmanı, Türkiye genelindeki $n = 26$ farklı otoyol gişesinden elde edilen verilerle, günlük ortalama ağır vasıta geçiş sayısı ( $X$ ) ile gişelerin yıllık bakım maliyetleri ( $Y$ , bin TL) arasındaki ilişkiyi basit doğrusal regresyon modeli ile incelemektedir.

Analiz sonucunda elde edilen kısmi varyans analizi (ANOVA) tablosu aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (sd)	Kareler Toplamı (KT)
Regresyon	*	$31200$
Hata	*	*
Toplam	*	$46800$

Buna göre, modelin genel anlamlılığını test etmek için hesaplanan $F$ test istatistiği değeri aşağıdakilerden hangisidir?

2

48

50

52

72

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Modelin genel anlamlılığını test etmek için hesaplanan F test istatistiği 48'dir.

Tabloda eksik verilen Hata Kareler Toplamı, Toplam Kareler Toplamı ile Regresyon Kareler Toplamı arasındaki farktan

46800 - 31200 = 15600

olarak bulunur. Basit doğrusal regresyon analizinde

n=26

için Hata serbestlik derecesi

n-2 = 24

'tür. Hata Kareler Ortalaması

15600 / 24 = 650

'dir. Regresyon Kareler Ortalaması ise

31200 / 1 = 31200

'dür. Son olarak

F = RKO / HKO = 31200 / 650 = 48

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Hata Kareler Toplamı'nın (HKT) hesaplanması

HKT = 46800 - 31200 = 15600

Toplam Kareler Toplamı (TKT), Regresyon ve Hata Kareler Toplamlarının toplamına eşittir (

TKT = RKT + HKT

). Dolayısıyla HKT eksik değeri, TKT'den RKT çıkarılarak bulunur.

2

Regresyon ve Hata serbestlik derecelerinin (sd) belirlenmesi

Regresyon

sd = 1

, Hata

sd = n - 2 = 26 - 2 = 24

Basit doğrusal regresyonda sadece bir bağımsız değişken olduğu için regresyon serbestlik derecesi 1'dir. Hata serbestlik derecesi ise örneklem hacmi eksi parametre sayısı (

n - 2

) ile hesaplanır.

3

Kareler Ortalamalarının (KO) hesaplanması

RKO = 31200 / 1 = 31200

ve

HKO = 15600 / 24 = 650

Kareler ortalamaları, ilgili kareler toplamının kendi serbestlik derecesine bölünmesiyle (

KO = KT / sd

) elde edilir.

4

F test istatistiğinin hesaplanması

F = RKO / HKO = 31200 / 650 = 48

Modelin genel anlamlılığını test eden F istatistiği, Regresyon Kareler Ortalamasının (RKO) Hata Kareler Ortalamasına (HKO) oranlanmasıyla hesaplanır.

Anahtar Kavram

Basit Doğrusal Regresyon Modelinde Varyans Analizi (ANOVA) ve F Testi İstatistiğinin Hesaplanması

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 129Soru →

Tarım ve Orman Bakanlığı'nda görevli bir uzman, 38 farklı tarım bölgesinde "yıllık tarımsal destekleme ödemeleri" ( $X$ ) ile "bölgesel tarımsal hasıla" ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla basit doğrusal regresyon analizi yapmıştır.

Yapılan analiz sonucunda;
- Bağımlı değişkene ait Genel Kareler Toplamı ( $SST$ ) = 2500
- Regresyonun standart hatası ( $S_e$ ) = 5
olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, tahmin edilen modelin belirtme katsayısı ( $R^2$ ) ve yorumu ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bölgesel tarımsal hasıladaki toplam değişkenliğin %64'ü, tarımsal destekleme ödemelerindeki değişimlerle açıklanmaktadır.

Bölgesel tarımsal hasıladaki toplam değişkenliğin %62'si, tarımsal destekleme ödemelerindeki değişimlerle açıklanmaktadır.

Tarımsal destekleme ödemelerindeki artış, bölgesel tarımsal hasıladaki artışın %64'ünün kesin ve doğrudan nedenidir.

Modele tarım alanı büyüklüğü gibi yeni bir bağımsız değişken eklendiğinde, düzeltilmiş belirtme katsayısı (

\bar{R}^2

) her zaman artarak 0,64'ün üzerine çıkacaktır.

Model sabit terim olmadan (orijinden geçerek) tahmin edilseydi, hesaplanacak yeni belirtme katsayısı bu modelin belirtme katsayısı ile doğrudan karşılaştırılabilirdi.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Bölgesel tarımsal hasıladaki toplam değişkenliğin %64'ü, tarımsal destekleme ödemelerindeki değişimlerle açıklanmaktadır.

Cevap

Bölgesel tarımsal hasıladaki toplam değişkenliğin %64'ü, tarımsal destekleme ödemelerindeki değişimlerle açıklanmaktadır.

Basit doğrusal regresyonda modelin belirtme katsayısı

R^2 = 1 - (SSE / SST)

formülü ile bulunur. Regresyonun standart hatası

S_e = 5

ve serbestlik derecesi

n - 2 = 36

olduğu için Hata Kareler Toplamı (

SSE

)

5^2 \times 36 = 900

olarak hesaplanır. Genel Kareler Toplamı (

SST

) 2500 olarak verildiğinden,

R^2 = 1 - (900/2500) = 0,64

elde edilir. Bu değer, bağımlı değişkendeki (tarımsal hasıla) toplam varyansın %64'ünün bağımsız değişken (destekleme ödemeleri) ile açıklandığını doğru bir şekilde ifade eder.

Adım Adım Çözüm

1

Basit doğrusal regresyon modeli için hata serbestlik derecesini (

df_{hata}

) belirle.

df_{hata} = n - 2 = 38 - 2 = 36

Regresyonun standart hatası hesaplanırken, basit doğrusal modelde 2 parametre (kesişim ve eğim) tahmin edildiği için serbestlik derecesi n-2'dir.

2

Regresyonun standart hatası (

S_e

) formülünü kullanarak Hata Kareler Toplamını (

SSE

) hesapla.

S_e = \sqrt{\frac{SSE}{n-2}} \Rightarrow 5 = \sqrt{\frac{SSE}{36}} \Rightarrow 25 = \frac{SSE}{36} \Rightarrow SSE = 900

Açıklanamayan varyansı (SSE) bulmak için standart hata formülünü tersine çevirmek gerekir.

3

Genel Kareler Toplamı (

SST

) ve

SSE

'yi kullanarak belirtme katsayısını (

R^2

) hesapla.

R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST} = 1 - \frac{900}{2500} = 1 - 0,36 = 0,64

R^2

, toplam varyansın ne kadarının bağımsız değişken tarafından açıklandığını gösteren orandır.

4

Bulunan

R^2

değerini istatistiksel olarak yorumla.

Bağımlı değişkendeki varyansın %64'ü bağımsız değişken tarafından açıklanmaktadır.

R^2

değeri nedensellik belirtmez, sadece açıklanan değişkenlik oranını (%64) ifade eder.

Anahtar Kavram

Belirtme Katsayısının (

R^2

) standart hata üzerinden hesaplanması ve nedensellik tuzağına düşmeden yorumlanması.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 130Soru →

Bir kamu kurumu, personelin aldığı hizmet içi eğitim süresi ( $X$ , gün) ile yıl sonu performans puanı ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi basit doğrusal regresyon analizi ile incelemiştir. 16 personelden elde edilen verilere göre analiz sonuçları aşağıda özetlenmiştir:

- Gözlem sayısı: $n = 16$
- Bağımsız değişkenin ortalaması: $\bar{X} = 8$
- Sapmaların kareleri toplamı: $\sum (X_i - \bar{X})^2 = 50$
- Regresyonun standart hatası: $S_e = 16$

Kurum yöneticisi, eğitim süresi tam olarak $X_0 = 13$ gün olan belirli (bireysel) bir personelin performans puanını tahmin etmek ve bu tahmin için bir kestirim aralığı oluşturmak istemektedir.

Buna göre, bu personelin performansı için kullanılacak bireysel tahmin standart hatası kaçtır ve bu bireysel değer için oluşturulacak aralığın genişliği ile eğitim süresi $13$ gün olan personelin ortalama performansı için oluşturulacak güven aralığının genişliği karşılaştırıldığında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Standart hata

20

'dir; bireysel tahmin aralığı, ortalama tahmin aralığından daha geniştir.

Standart hata

12

'dir; bireysel tahmin aralığı, ortalama tahmin aralığından daha dardır.

Standart hata

12

'dir; bireysel tahmin aralığı, ortalama tahmin aralığından daha geniştir.

Standart hata

20

'dir; bireysel tahmin aralığı, ortalama tahmin aralığından daha dardır.

Standart hata

16

'dır; bireysel ve ortalama tahmin aralıkları aynı genişliktedir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Standart hata $20$ 'dir; bireysel tahmin aralığı, ortalama tahmin aralığından daha geniştir.

Cevap

Doğru seçenek, standart hatanın 20 olduğunu ve bireysel tahmin aralığının daha geniş olduğunu belirten seçenektir.

Bireysel bir değerin tahmini için standart hata hesaplanırken, tahmin varyansına bireysel gözlemin varyansı da (formüldeki

+1

) eklenir. Hesaplama adımlarında

16 \times \sqrt{1 + 1/16 + 1/2} = 16 \times \sqrt{25/16} = 20

elde edilir. Formüldeki fazladan

+1

bileşeni nedeniyle, bireysel tahminin standart hatası daima ortalama tahminin standart hatasından büyüktür ve bu durum bireysel kestirim aralığının daha geniş olmasına yol açar.

Adım Adım Çözüm

1

Bireysel tahmin için standart hata formülünün belirlenmesi.

SE_{ind} = S_e \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(X_0 - \bar{X})^2}{\sum (X_i - \bar{X})^2}}

formülü yazılır.

Soruda ortalama performans değil, 'belirli (bireysel) bir personelin' performansı için kestirim yapılması istenmektedir.

2

Verilerin formüle yerleştirilerek hesaplanması.

16 \sqrt{1 + \frac{1}{16} + \frac{(13 - 8)^2}{50}} = 16 \sqrt{1 + \frac{1}{16} + \frac{25}{50}}

Karekök içi payda eşitlemesiyle:

1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{2} = \frac{16+1+8}{16} = \frac{25}{16}

olur.

Böylece

SE_{ind} = 16 \sqrt{\frac{25}{16}} = 16 \times \frac{5}{4} = 20

olarak bulunur.

Verilen

X_0 = 13

değerinin merkeze (ortalamaya) olan uzaklığı dikkate alınarak standart sapma hesaplanır.

3

Bireysel ve ortalama tahmin aralıklarının genişliklerinin karşılaştırılması.

Bireysel tahmin aralığı her zaman ortalama tahmin aralığından daha geniştir sonucuna varılır.

Ortalama tahminde karekök içindeki

+1

ifadesi bulunmaz. Bireysel tahmin, ortalamanın varyansına ek olarak bireysel gözlemin kendi içsel rassal varyansını da barındırdığı için tahmin belirsizliği daha yüksektir.

Anahtar Kavram

Bireysel Tahmin (Kestirim) Standart Hatası ve Aralık Genişliği

Soru 131Soru →

Bir kamu yönetimi araştırmacısı, 102 farklı ilçe belediyesinde kişi başına düşen sosyal yardım harcamaları ( $Y$ ) ile bu ilçelerdeki işsizlik oranları ( $X$ ) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla basit doğrusal regresyon analizi uygulamıştır.

Analiz sonucunda, bağımlı değişkene ait toplam kareler sapması (Genel Kareler Toplamı - $GKT$ ) $10.000$ olarak hesaplanmış ve kurulan modelde bağımsız değişkenin, bağımlı değişkendeki değişimin %64'ünü açıkladığı tespit edilmiştir.

Buna göre, tahmin edilen bu regresyon modelinin standart hatası ( $S_e$ ) kaçtır?

10

8

6

60

36

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Regresyon modelinin standart hatası 6'dır.

Regresyonun standart hatası (

S_e

), hata kareler ortalamasının (

HKO

) kareköküdür. İşlem adımında ilk olarak modelin açıklayamadığı hata kareler toplamı (

HKT

) bulunmalıdır.

R^2 = 0.64

olarak verildiğine göre modelin açıklayamadığı oran

1 - 0.64 = 0.36

'dır.

HKT = 10.000 \times 0.36 = 3.600

olarak hesaplanır. Ardından basit doğrusal regresyon için serbestlik derecesi olan

(n-2)

'ye bölünerek hata varyansı (

HKO

) bulunur:

3.600 / (102 - 2) = 36

. Son olarak bu değerin karekökü alınarak regresyon modelinin standart hatasına ulaşılır:

\sqrt{36} = 6

.

Adım Adım Çözüm

1

Modelin açıklayamadığı Hata Kareler Toplamını (

HKT

) hesapla.

HKT = 3.600

Belirtme katsayısı (

R^2 = 0.64

), GKT'nin %64'ünün model tarafından açıklandığını gösterir. Açıklanamayan kısım

1 - 0.64 = 0.36

'dır. Bu durumda

HKT = GKT \times 0.36 = 10.000 \times 0.36 = 3.600

olur.

2

Basit doğrusal regresyon için hata serbestlik derecesini belirle.

Serbestlik derecesi

= 100

Gözlem sayısı

n = 102

'dir. Basit doğrusal regresyonda hata serbestlik derecesi

(n - 2)

formülü ile bulunur:

102 - 2 = 100

.

3

Hata varyansını (Hata Kareler Ortalaması -

HKO

) hesapla.

HKO = 36

Hata varyansı tahmini, HKT'nin serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilir:

3.600 / 100 = 36

.

4

Regresyonun standart hatasını (

S_e

) bulmak için varyansın karekökünü al.

S_e = 6

Standart hata, varyansın kareköküdür:

\sqrt{36} = 6

.

Anahtar Kavram

Basit doğrusal regresyonda standart hata hesaplaması, belirtme katsayısı (

R^2

) ve Genel Kareler Toplamı (

GKT

) ilişkisi.

Soru 132Soru →

Bir çalışma ekonomisi araştırmacısı, farklı imalat sanayi kollarındaki ortalama çalışma süresi ( $X$ , saat/hafta) ile iş kazası sıklık oranı ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi basit doğrusal regresyon modeliyle incelemiştir. Analiz sonucunda bilgisayar çıktısında yer alan kısmi varyans analizi (ANOVA) tablosu aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (sd)	Kareler Toplamı (KT)	Kareler Ortalaması (KO)	$F$ Değeri
Regresyon	?	?	?	$75$
Hata	?	$2500$	?
Toplam	?	$10000$

Buna göre, bu araştırmada incelenen imalat sanayi kolu sayısı ( $n$ ) kaçtır?

24

25

26

27

28

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Doğru cevap 27'dir. Hata serbestlik derecesi 25 olarak bulunur ve basit doğrusal regresyonda n-2 eşitliğinden yola çıkılarak n=27 elde edilir.

Doğru cevap olan 27 değeri; eksik varyans analizi tablosundan geriye doğru adım adım hesaplama yapılarak bulunur. Hata Kareler Ortalaması'nın 100 olarak bulunması, bu değere bağlı olarak Hata serbestlik derecesinin 25 elde edilmesi ve nihayetinde n-2 = 25 bağıntısından örneklem hacminin 27 çıkması matematiksel olarak tek geçerli sonuctur.

Adım Adım Çözüm

1

Regresyon Kareler Toplamı (RKT) değerini hesaplamak.

Toplam Kareler Toplamı = Regresyon KT + Hata KT formülünden yola çıkarak,

10000 = RKT + 2500

denklemi kurulur ve buradan

RKT = 7500

olarak bulunur.

Varyans analizinde genel (toplam) varyans, açıklanan (regresyon) ve açıklanamayan (hata) varyansların toplamından oluşur.

2

Regresyon Kareler Ortalaması (RKO) değerini belirlemek.

Basit doğrusal regresyon modelinde sadece bir bağımsız değişken bulunduğundan Regresyon serbestlik derecesi (

sd

)

1

'dir. Dolayısıyla

RKO = \frac{RKT}{1} = \frac{7500}{1} = 7500

olur.

Kareler ortalaması, ilgili kareler toplamının kendi serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilir ve F istatistiğinin hesaplanmasında pay kısmını oluşturur.

3

Hata Kareler Ortalaması (HKO) değerini hesaplamak.

F

istatistiği

F = \frac{RKO}{HKO}

formülü ile hesaplandığından,

75 = \frac{7500}{HKO}

eşitliği kurulur ve buradan

HKO = 100

bulunur.

Tabloda verilen F değeri, kareler ortalamalarının oranını ifade eder. Bilinen RKO değeri kullanılarak bilinmeyen HKO değerine tersten ulaşılır.

4

Hata serbestlik derecesini ve örneklem hacmini (

n

) bulmak.

HKO = \frac{HKT}{\text{Hata } sd}

formülünden

100 = \frac{2500}{\text{Hata } sd}

denklemiyle

\text{Hata } sd = 25

bulunur. Basit doğrusal regresyonda

\text{Hata } sd = n - 2

olduğundan,

n - 2 = 25 \implies n = 27

olarak elde edilir.

Basit doğrusal modelde kesişim ve eğim olmak üzere iki parametre tahmin edildiğinden, hata serbestlik derecesi gözlem sayısından 2 eksik olur.

Anahtar Kavram

ANOVA tablosunda Kareler Toplamı (KT) bileşenleri ile Basit Doğrusal Regresyon modelindeki serbestlik dereceleri ilişkisi

Soru 133Soru →

Bir makroekonomi araştırmacısı, 42 ülkeye ait verileri kullanarak ülkelerin "dijitalleşme endeksi" ( $X$ ) ile "işgücü verimliliği artış oranı" ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi basit doğrusal regresyon modeli ile incelemiştir. EKK (En Küçük Kareler) yöntemiyle yapılan tahmin sonucunda, bağımlı değişkene ait Genel Kareler Toplamı (GKT) $500$ ve Hata Kareler Toplamı (HKT) $120$ olarak bulunmuştur.

Bu modelin belirtme katsayısı ( $R^2$ ) ve analizin bulguları dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel açıdan doğrudur?

İşgücü verimliliği artış oranındaki toplam değişkenliğin %76'lık kısmı, modele dahil edilen dijitalleşme endeksi tarafından açıklanmaktadır.

Belirtme katsayısı

0,76

olarak hesaplanmış olup bu durum, dijitalleşme endeksinin işgücü verimliliğindeki değişimin kesin nedeni olduğunu kanıtlamaktadır.

Sabit terimin modele dahil edilmediği (orijinden geçen) yeni bir regresyon denklemi kurulsaydı, elde edilecek yeni

R^2

değeri mevcut modelin açıklayıcılık gücüyle doğrudan kıyaslanabilirdi.

Modele işgücü verimliliğini etkileyen yeni açıklayıcı değişkenler eklendikçe, düzeltilmiş belirtme katsayısı (

\bar{R}^2

) istisnasız olarak

0,76

'nın üzerine çıkacaktır.

Modelin hata varyansı tahmin edilirken Hata Kareler Toplamı olan

120

değeri, serbestlik derecesi olan

40

yerine

42

'ye bölünerek hesaplanırsa modelin

R^2

değeri de bu işlemden etkilenerek değişecektir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: İşgücü verimliliği artış oranındaki toplam değişkenliğin %76'lık kısmı, modele dahil edilen dijitalleşme endeksi tarafından açıklanmaktadır.

Cevap

İşgücü verimliliği artış oranındaki toplam değişkenliğin %76'lık kısmı, modele dahil edilen dijitalleşme endeksi tarafından açıklanmaktadır.

Belirtme katsayısı (

R^2

),

1 - (HKT/GKT)

formülüyle hesaplanmaktadır. Verilen değerlerle oran

1 - (120/500) = 0,76

çıkar. Bu değer, bağımlı değişkendeki varyansın %76'sının regresyon modelindeki bağımsız değişken ile açıklanabildiğini gösteren en temel ve doğru istatistiksel yorumdur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen kareler toplamı değerlerini kullanarak belirtme katsayısı (

R^2

) formülünü kurun.

R^2 = 1 - \frac{\text{HKT}}{\text{GKT}}

Belirtme katsayısı, açıklanamayan kısmın (HKT/GKT) bire tamamlanmasıyla elde edilir.

2

Soruda verilen GKT = 500 ve HKT = 120 değerlerini formülde yerine koyarak matematiksel işlemi tamamlayın.

R^2 = 1 - \frac{120}{500} = 1 - 0,24 = 0,76

Modelin açıklayıcılık gücünün sayısal değerini bulmak gereklidir.

3

Bulunan

0,76

oranının istatistiksel yorumunu yapın.

Bağımlı değişkendeki (işgücü verimliliği) toplam varyansın %76'sı bağımsız değişken (dijitalleşme endeksi) tarafından açıklanmaktadır.

Bulunan sayısal değerin teorik karşılığını tespit etmek için.

Anahtar Kavram

Belirtme Katsayısının (

R^2

) Hesaplanması ve Doğru İstatistiksel Yorumu

Soru 134Soru →

Bir Kalkınma Ajansı uzmanı, 25 farklı bölge için organize sanayi bölgelerinde faaliyet gösteren işletme sayısı ( $X$ ) ile bölgesel istihdam düzeyi ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla basit doğrusal regresyon modeli tahmin etmiştir.

Analiz sonucunda elde edilen ANOVA (Varyans Analizi) tablosunun bir kısmı aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (SD)	Kareler Toplamı (KT)	Kareler Ortalaması (KO)
Regresyon	$1$	$?$	$360$
Hata (Artık)	$23$	$?$	$?$
Genel (Toplam)	$24$	$500$	-

Bu analiz sonuçlarına göre, modelin belirtme katsayısı ( $R^2$ ) ve bu katsayının istatistiksel yorumu aşağıdakilerden hangisinde en doğru şekilde verilmiştir?

Belirtme katsayısı

0,72

'dir; işletme sayısındaki %1'lik bir artışın, istihdam düzeyinde %72 oranında bir artışa kesin olarak neden olduğunu kanıtlar.

Belirtme katsayısı

0,28

'dir; serbestlik derecesine göre düzeltilmiş bu oran, istihdam tahminindeki standart hatanın toplam varyans içindeki payını gösterir.

Belirtme katsayısı

0,72

'dir; modele istihdamı etkileyebilecek yeni bağımsız değişkenler eklendikçe, düzeltilmiş belirtme katsayısının da istisnasız olarak bu değerin üzerine çıkacağını gösterir.

Belirtme katsayısı

0,72

'dir; bu değer, bölgesel istihdam düzeyindeki değişimin (varyansın) %72'sinin organize sanayi bölgelerindeki işletme sayısı tarafından açıklandığını ifade eder.

Belirtme katsayısı

0,72

'dir; model orijinden geçecek şekilde tahmin edilirse, elde edilecek yeni katsayının yine

(0,1)

aralığında kalacağı varsayımıyla iki modelin açıklama gücünün doğrudan karşılaştırılabileceğini gösterir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Belirtme katsayısı $0,72$ 'dir; bu değer, bölgesel istihdam düzeyindeki değişimin (varyansın) %72'sinin organize sanayi bölgelerindeki işletme sayısı tarafından açıklandığını ifade eder.

Cevap

ANOVA tablosundaki eksik veriler tamamlandığında Regresyon Kareler Toplamı 360 bulunur. Belirtme katsayısı (0,72), bağımlı değişkendeki (istihdam) varyansın bağımsız değişken (işletme sayısı) tarafından açıklanma oranını ifade eder.

ANOVA tablosunda Regresyon Kareler Ortalaması (

KO_{Reg}

) 360 ve Serbestlik Derecesi (

SD_{Reg}

) 1 olarak verilmiştir. Regresyon Kareler Toplamı (

RKT

), bu iki değerin çarpımına eşittir (

360 \times 1 = 360

). Belirtme katsayısı (

R^2

),

RKT

'nin Genel Kareler Toplamına (

GKT

) oranıdır (

360 / 500 = 0,72

). İstatistiksel olarak bu katsayı, bağımlı değişkendeki (bölgesel istihdam düzeyi) değişkenliğin (varyansın) %72'sinin modelde yer alan bağımsız değişken (işletme sayısı) tarafından açıklandığını net bir şekilde ifade eder.

Adım Adım Çözüm

1

Regresyon Kareler Toplamını (RKT) hesaplayın.

RKT = KO_{Reg} \times SD_{Reg} = 360 \times 1 = 360

Varyans analizi tablosunda Kareler Ortalaması, Kareler Toplamının Serbestlik Derecesine bölünmesiyle elde edilir. Bu nedenle RKT'yi bulmak için bu iki değeri çarparız.

2

Belirtme katsayısını (

R^2

) formülünü kullanarak hesaplayın.

R^2 = \frac{RKT}{GKT} = \frac{360}{500} = 0,72

Belirtme katsayısı, model tarafından açıklanan varyansın (RKT) toplam varyansa (GKT) oranlanmasıyla bulunur.

3

Bulunan değeri istatistiksel kavramsal çerçeveye oturtarak yorumlayın.

Bağımlı değişkendeki toplam varyansın %72'si bağımsız değişken tarafından açıklanmaktadır.

Belirtme katsayısı sadece doğrusal ilişkinin gücünü ve açıklanan varyans oranını belirtir, nedensellik içermez.

Anahtar Kavram

Belirtme Katsayısı (

R^2

) Hesaplama ve Yorumlama

Soru 135Soru →

Bir büyükşehir belediyesinde görevli şehir plancısı, 32 farklı ilçede "aktif toplu taşıma aracı sayısı" ( $X$ ) ile "günlük ortalama trafik yoğunluğu endeksi" ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla sabit terim içeren bir basit doğrusal regresyon analizi yapmıştır.

Analiz sonucunda, trafik yoğunluğu endeksine ait Genel (Toplam) Kareler Toplamı $2500$ ve Artık (Hata) Kareler Toplamı $600$ olarak elde edilmiştir. Modelin sabit terimi istatistiksel olarak anlamlı bulunmuştur.

Bu araştırma bulguları ve belirtme katsayısı ( $R^2$ ) dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel olarak doğrudur?

Modelin belirtme katsayısı

0,76

'dır ve bu değer, trafik yoğunluğu endeksindeki değişkenliğin %76'sının aktif toplu taşıma aracı sayısı tarafından açıklandığını gösterir.

Hesaplanan

0,76

'lık belirtme katsayısı, aktif toplu taşıma aracı sayısına yapılacak müdahalelerin trafik yoğunluğunu kesin olarak %76 oranında düşüreceğini ve aralarında mutlak bir nedensellik bulunduğunu kanıtlar.

Regresyon modelinin standart hatası hesaplanırken kullanılacak olan hata varyansı tahmini,

600

olan artık kareler toplamının toplam gözlem sayısı olan

32

'ye bölünmesiyle elde edilir.

Kurulan bu modelden sabit terim çıkarılarak model orijinden geçmeye zorlansaydı, elde edilecek yeni belirtme katsayısı

0,76

değeriyle doğrudan karşılaştırılarak modellerin uyum iyiliği kıyaslanabilirdi.

Bu modele yeni bir bağımsız değişken daha ilave edilerek çoklu regresyon modeline geçilseydi, hesaplanacak olan düzeltilmiş belirtme katsayısının (

\bar{R}^2

) mevcut

0,76

değerine göre her halükarda artış göstermesi matematiksel olarak garanti olurdu.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Modelin belirtme katsayısı $0,76$ 'dır ve bu değer, trafik yoğunluğu endeksindeki değişkenliğin %76'sının aktif toplu taşıma aracı sayısı tarafından açıklandığını gösterir.

Cevap

Doğru yanıt, belirtme katsayısının

0,76

olduğunu ve bu değerin trafik yoğunluğu endeksindeki değişkenliğin %76'sının toplu taşıma aracı sayısı ile açıklandığını belirten ifadedir.

Belirtme katsayısı (

R^2

), Regresyon Kareler Toplamı'nın (SSR) Genel Kareler Toplamı'na (SST) bölünmesiyle veya

1 - (SSE/SST)

formülüyle bulunur. Verilen

SST = 2500

ve

SSE = 600

değerleri yerine konduğunda

R^2 = 1 - (600/2500) = 0,76

elde edilir. İstatistiksel olarak bu değer, bağımlı değişkendeki varyansın %76'sının modeldeki bağımsız değişken tarafından açıklanabildiğini net olarak ifade eder.

Adım Adım Çözüm

1

Genel Kareler Toplamı (SST) ve Artık Kareler Toplamı (SSE) değerleri kullanılarak Regresyon Kareler Toplamı (SSR) hesaplanır.

SSR = SST - SSE = 2500 - 600 = 1900

Toplam varyansın (SST) ne kadarının model tarafından açıklandığını (SSR) bulmak için.

2

Belirtme katsayısı (

R^2

) formülü uygulanır.

R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST} = 1 - \frac{600}{2500} = \frac{1900}{2500} = 0,76

Modelin bağımlı değişkendeki değişkenliğin yüzde kaçını açıkladığını sayısal olarak tespit etmek için.

3

Bulunan sayısal değer yorumlanır.

Bağımlı değişkendeki (trafik yoğunluğu) toplam varyasyonun %76'sı, bağımsız değişken (toplu taşıma aracı sayısı) tarafından açıklanmaktadır.

R^2

oranının regresyon analizi literatüründeki istatistiksel standart tanımı budur.

Anahtar Kavram

Belirtme Katsayısı (R²) Hesaplaması ve Kavramsal Yorumu

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 136Soru →

Bir araştırmacı, $n=20$ gözlemden oluşan bir örneklem kullanarak $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i$ basit doğrusal regresyon modelini En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin etmiştir. Araştırmacı, model üzerinde uyguladığı tanısal testler sonucunda hata terimlerinin varyansının sabit olduğunu (White testi ile), hata terimleri arasında ardışık bağımlılık bulunmadığını (Breusch-Godfrey testi ile) ve bağımsız değişken ile hata terimi arasında korelasyon olmadığını ( $Cov(X_i, u_i) = 0$ ) saptamıştır. Ancak hata terimlerine uyguladığı Jarque-Bera testi sonucunda, normallik varsayımının reddedildiğini belirlemiştir.

Buna göre, tahmin edilen modelin özellikleri ve EKK tahmin edicileri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

EKK tahmin edicileri doğrusal, sapmasız ve en iyi (BLUE) olma özelliklerini korumaya devam eder; ancak küçük örneklem hacminde parametreler için uygulanacak

t

ve

F

testleri güvenilir sonuçlar vermez.

Normallik varsayımının ihlali, EKK tahmin edicilerinin doğrusal ve sapmasız olma özelliklerini bozacağından, tahmin edilen katsayılar evren parametrelerinin tutarlı birer tahmini olamaz.

Hata terimleri normal dağılmadığı için tahmin ediciler etkinlik (minimum varyans) özelliğini yitirmiştir; bu sorun tahmin edicilerin standart hatalarının sapmalı hesaplanmasına yol açar.

Normallik varsayımının sağlanamaması otokorelasyon sorununa da işaret eder, bu nedenle Durbin-Watson test istatistiği

0

'a yaklaşarak güçlü bir pozitif otokorelasyon gösterir.

EKK tahmin edicileri sapmasızlık özelliğini korur; ancak normallik ihlali nedeniyle modelin genel anlamlılığını ölçen

F

testi kullanılamazken, bireysel parametreleri sınayan

t

testi geçerliliğini korur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: EKK tahmin edicileri doğrusal, sapmasız ve en iyi (BLUE) olma özelliklerini korumaya devam eder; ancak küçük örneklem hacminde parametreler için uygulanacak $t$ ve $F$ testleri güvenilir sonuçlar vermez.

Cevap

EKK tahmin edicileri doğrusal, sapmasız ve en iyi (BLUE) olma özelliklerini korumaya devam eder; ancak küçük örneklem hacminde parametreler için uygulanacak t ve F testleri güvenilir sonuçlar vermez.

Gauss-Markov teoremine göre; hata terimlerinin sıfır ortalamalı, sabit varyanslı olması ve ardışık bağımlılık içermemesi durumunda EKK tahmin edicileri En İyi Doğrusal Sapmasız Tahmin Edici (BLUE) olma özelliğini kazanır. Normallik varsayımı, bu teorem içinde yer almaz; dolayısıyla EKK tahmin edicilerinin doğrusal, sapmasız ve en küçük varyanslı olma özellikleri normalliğin ihlalinden etkilenmez. Ancak normallik varsayımı, küçük örneklemlerde (

n=20

) parametre tahminlerinin olasılık dağılımlarının hesaplanabilmesi için gereklidir. Normallik varsayımı sağlanmadığında elde edilen

t

ve

F

istatistikleri, sırasıyla Student-

t

ve

F

dağılımlarına tam olarak uymayacağından, bu testlerin vereceği sonuçlar (p-değerleri) güvenilir değildir.

Adım Adım Çözüm

1

Modelde sağlanan varsayımları Gauss-Markov teoremi çerçevesinde değerlendirmek.

Hata terimlerinin sabit varyanslı olması, ardışık bağımlılık içermemesi ve bağımsız değişkenle ilişkisiz olması EKK tahmin edicilerinin En İyi Doğrusal Sapmasız (BLUE) olmasını sağlar.

Gauss-Markov teoremi, tahmin edicilerin BLUE olması için normallik varsayımını şart koşmaz.

2

Normallik varsayımının model çıkarımları üzerindeki etkisini analiz etmek.

Normallik varsayımı ihlal edilmiştir. Ancak normallik eksikliği katsayıların nokta tahmin özelliklerini (sapmasızlık, etkinlik) etkilemez.

Nokta tahminleri sadece doğrusal cebirsel özellikler ile beklenen değer ve varyans kurallarına dayanır.

3

Örneklem büyüklüğü (

n=20

) ile normallik eksikliğinin hipotez testlerine etkisini birleştirmek.

Örneklem küçük olduğu için asimptotik teoriler (Merkezi Limit Teoremi) işlemez. Bu nedenle katsayı tahminleri tam olarak normal dağılmaz ve

t

ile

F

istatistikleri varsayılan dağılımlarına uymaz.

Küçük örneklemlerde geçerli bir istatistiksel çıkarsama (hipotez testi ve güven aralığı) yapabilmek için hata terimlerinin normal dağılması matematiksel bir zorunluluktur.

Anahtar Kavram

Gauss-Markov Teoremi ve İstatistiksel Çıkarsamada Normallik Varsayımı

Soru 137Soru →

Bir makroekonomik analizde, 26 ülkenin yıllık enflasyon oranları ( $Y$ ) ile politika faiz oranları ( $X$ ) arasındaki ilişki basit doğrusal regresyon modeli ile incelenmiştir. Bağımlı değişken olan enflasyon oranlarına ait örneklem varyansı 400 olarak hesaplanmıştır.

Kurulan modelin belirtme katsayısı ( $R^2$ ) 0,76 olduğuna göre, bu regresyon modelinin standart hatası ( $S_e$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

2

4\sqrt{6}

10

20

100

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Regresyon modelinin standart hatası 10 olarak hesaplanır.

Regresyonun standart hatasını (

S_e

) hesaplamak için öncelikle Hata Kareler Toplamı (HKT) ve serbestlik derecesi (

n-2

) bilinmelidir. Örneklem varyansı

S_y^2 = 400

ve gözlem sayısı

n = 26

verildiğinden, Genel Kareler Toplamı

GKT = 400 \times (26-1) = 10000

bulunur. Belirtme katsayısı

R^2 = 0,76

kullanılarak

HKT = 10000 \times (1 - 0,76) = 2400

elde edilir. Hata varyansı

S_e^2 = \frac{HKT}{n-2} = \frac{2400}{24} = 100

olarak hesaplanır. Regresyonun standart hatası ise hata varyansının karekökü olan

\sqrt{100} = 10

'dur.

Adım Adım Çözüm

1

Genel Kareler Toplamı'nı (GKT) hesapla.

GKT = 10000

Bağımlı değişkenin örneklem varyansı

S_y^2 = \frac{GKT}{n-1}

formülü ile bulunur.

n=26

verildiği için

GKT = S_y^2 \times (n-1) = 400 \times 25 = 10000

elde edilir.

2

Hata Kareler Toplamı'nı (HKT) bul.

HKT = 2400

Belirtme katsayısı

R^2 = 1 - \frac{HKT}{GKT}

ilişkisine sahiptir.

0,76 = 1 - \frac{HKT}{10000} \implies \frac{HKT}{10000} = 0,24 \implies HKT = 2400

olarak bulunur.

3

Hata varyansını (

S_e^2

) ve standart hatayı (

S_e

) hesapla.

S_e^2 = 100 \implies S_e = 10

Basit doğrusal regresyonda hata varyansı, HKT'nin serbestlik derecesi olan

(n-2)

'ye bölünmesiyle bulunur.

S_e^2 = \frac{2400}{26-2} = \frac{2400}{24} = 100

olur. Standart hata ise bu varyansın kareköküdür:

S_e = \sqrt{100} = 10

.

Anahtar Kavram

Örneklem varyansı, GKT, R² ve serbestlik derecesi kullanılarak hata varyansının (

S_e^2

) ve regresyonun standart hatasının (

S_e

) aşamalı olarak elde edilmesi.

Soru 138Soru →

Bir kamu lojistik kurumunda, 32 farklı dağıtım merkezi için günlük işlenen kargo hacmi ( $X$ , ton) ile günlük operasyonel enerji tüketimi ( $Y$ , kWh) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla basit doğrusal regresyon analizi yapılmıştır.

Analiz sonucunda elde edilen bazı değerler şöyledir:
- Gözlem sayısı ( $n$ ) = 32
- Genel Kareler Toplamı ( $SST$ ) = 5000
- Regresyonun Standart Hatası ( $S_e$ ) = 10

Buna göre, kurulan basit doğrusal regresyon modelinin belirtme katsayısı ( $R^2$ ) ve bu katsayının istatistiksel olarak doğru yorumu aşağıdakilerden hangisidir?

0,40

; günlük operasyonel enerji tüketimindeki değişimin %40'ı, günlük işlenen kargo hacmi tarafından açıklanmaktadır.

0,40

; günlük işlenen kargo hacmindeki artış, enerji tüketiminde kesin olarak %40 oranında bir artışa neden olmaktadır.

0,36

; günlük operasyonel enerji tüketimindeki değişimin %36'sı, günlük işlenen kargo hacmi tarafından açıklanmaktadır.

0,38

; günlük operasyonel enerji tüketimindeki değişimin %38'i, günlük işlenen kargo hacmi tarafından açıklanmaktadır.

0,60

; günlük operasyonel enerji tüketimindeki değişimin %60'ı, günlük işlenen kargo hacmi tarafından açıklanmaktadır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,40$ ; günlük operasyonel enerji tüketimindeki değişimin %40'ı, günlük işlenen kargo hacmi tarafından açıklanmaktadır.

Cevap

Modelin belirtme katsayısı 0,40'tır ve bu değer günlük operasyonel enerji tüketimindeki değişimin %40'ının kargo hacmi ile açıklandığını gösterir.

Basit doğrusal regresyonda standart hata (

S_e

) 10 olarak verildiğinden, Hata Kareler Ortalaması (

MSE

)

10^2 = 100

'dür. Hata serbestlik derecesi

n-2 = 30

'dur. Buradan Hata Kareler Toplamı (

SSE

)

100 \times 30 = 3000

bulunur. Regresyon Kareler Toplamı (

SSR

),

SST - SSE = 5000 - 3000 = 2000

'dir. Belirtme katsayısı (

R^2

),

SSR / SST

formülünden

2000 / 5000 = 0,40

olarak elde edilir. İstatistiksel yorumu, bağımlı değişken olan enerji tüketimindeki değişimin (varyansın) %40'ının bağımsız değişken olan kargo hacmi tarafından açıklandığı şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Regresyonun standart hatasından (

S_e

) yola çıkarak Hata Kareler Ortalamasını (

MSE

) hesaplamak.

MSE = S_e^2 = 10^2 = 100

Standart hata, hata varyansının kareköküdür.

SSE

'ye ulaşabilmek için öncelikle

MSE

'nin bulunması gerekir.

2

Hata serbestlik derecesini kullanarak Hata Kareler Toplamını (

SSE

) bulmak.

df_{hata} = n - 2 = 32 - 2 = 30

. Buradan

SSE = MSE \times df_{hata} = 100 \times 30 = 3000

Basit doğrusal regresyonda hata serbestlik derecesi

n-2

'dir.

MSE = SSE / (n-2)

formülünden

SSE

'ye geçiş yapılır.

3

Regresyon Kareler Toplamını (

SSR

) hesaplamak.

SSR = SST - SSE = 5000 - 3000 = 2000

Genel kareler toplamı (

SST

), açıklanan (

SSR

) ve açıklanamayan (

SSE

) kareler toplamlarının toplamına eşittir.

4

Belirtme katsayısını (

R^2

) hesaplamak ve yorumlamak.

R^2 = \frac{SSR}{SST} = \frac{2000}{5000} = 0,40

. Yorum: Y'deki varyansın %40'ı X ile açıklanmaktadır.

Belirtme katsayısı, bağımlı değişkendeki değişimin bağımsız değişken tarafından açıklanan yüzdesini (oranını) ifade eder.

Anahtar Kavram

Basit Doğrusal Regresyonda Hata Varyansı ve Belirtme Katsayısı (

R^2

) İlişkisi

Soru 139Soru →

Regresyon analizinde Gauss-Markov Teoremi, En Küçük Kareler ( $EKK$ ) tahmin edicilerinin sahip olduğu "En İyi Doğrusal Sapmasız Tahmin Edici" ( $BLUE$ ) özelliklerini tanımlar. Buna göre, bir tahmin edicinin "En İyi" ( $Best$ ) sıfatını taşıması aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilir?

Tahmin edicinin bağımlı değişkenin (

Y

) doğrusal bir fonksiyonu olması

Tahmin edicinin beklenen değerinin, tahmin edilen ana kütle parametresine eşit olması

Doğrusal ve sapmasız tüm tahmin ediciler arasında en küçük varyansa sahip olması

Örneklem hacmi sonsuza giderken tahmin edicinin gerçek parametre değerine yakınsaması

Hata terimlerinin birbiriyle ilişkisiz ve sabit varyanslı olması

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Doğrusal ve sapmasız tüm tahmin ediciler arasında en küçük varyansa sahip olması

Cevap

Tahmin edicinin 'En İyi' (Best) olması, doğrusal ve sapmasız tahmin ediciler sınıfı içinde en küçük varyansa sahip olması anlamına gelir.

Gauss-Markov Teoremi'ne göre, klasik varsayımlar altında

EKK

tahmin edicileri 'En İyi Doğrusal Sapmasız Tahmin Edici' (

BLUE

) niteliğindedir. Buradaki 'En İyi' (Best) ifadesi, bu tahmin edicinin doğrusal ve sapmasız olan tüm alternatif tahmin ediciler arasında en küçük varyansa sahip olduğunu belirtir. Düşük varyans, tahminin daha kesin ve güvenilir olması demektir.

Adım Adım Çözüm

1

Kavram Analizi

BLUE

kısaltmasının bileşenlerini ayrıştırmak.

"En İyi" (Best) teriminin istatistiksel karşılığını bulmak için gereklidir.

2

Etkinlik (Efficiency) Tanımı

"En İyi" = Minimum Varyans.

Gauss-Markov teoremine göre sapmasız tahmin ediciler arasında varyansı en düşük olan 'en iyi'dir.

Anahtar Kavram

İstatistiksel Etkinlik (Efficiency)

Tahmini Süre:45s

Soru 140Soru →

Bir kamu yatırım projesinde "yıllık altyapı harcamaları" ( $X$ ) ile "bölgesel kalkınma endeksi" ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi belirlemek amacıyla basit doğrusal regresyon analizi yapılmıştır. Analiz sonucunda elde edilen ANOVA (Varyans Analizi) tablosundaki kareler toplamı değerleri aşağıda verilmiştir:

Değişim Kaynağı	Kareler Toplamı (KT)
Regresyon (SSR)	$120$
Hata (SSE)	$30$
Toplam (SST)	$150$

Buna göre, bu model için hesaplanan belirtme katsayısının ( $R^2$ ) değeri ve bu katsayının doğru yorumu aşağıdakilerden hangisidir?

0,20

; bölgesel kalkınma endeksindeki değişimin

\%20

'si altyapı harcamaları değişkeni tarafından açıklanmaktadır.

0,80

; bölgesel kalkınma endeksindeki toplam değişimin

\%80

'i altyapı harcamaları değişkeni tarafından açıklanmaktadır.

1,25

; altyapı harcamaları kalkınma endeksindeki değişimin tamamını ve daha fazlasını açıklamaktadır.

0,80

; altyapı harcamalarındaki artış, bölgesel kalkınma endeksinin

\%80

oranında yükselmesine doğrudan neden olmaktadır.

0,75

; modelde serbestlik derecesine göre düzeltme yapıldığında bağımsız değişkenin açıklayıcılık gücü

\%75

'dir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,80$ ; bölgesel kalkınma endeksindeki toplam değişimin $\%80$ 'i altyapı harcamaları değişkeni tarafından açıklanmaktadır.

Cevap

Hesaplanan belirtme katsayısı

0,80

olup, bu değer bölgesel kalkınma endeksindeki toplam değişimin

\%80

'inin altyapı harcamaları tarafından açıklandığını ifade eder.

Belirtme katsayısı

R^2 = SSR / SST

formülüyle hesaplanır. Burada

120 / 150 = 0,80

elde edilir. Bu katsayı, bağımlı değişken olan kalkınma endeksindeki toplam değişkenliğin

\%80

'inin bağımsız değişken olan altyapı harcamalarıyla modellenebildiğini gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen kareler toplamı değerleri kullanılarak toplam kareler toplamını (

SST

) doğrula veya hesapla.

SST = SSR + SSE = 120 + 30 = 150

birim.

Belirtme katsayısı formülünde payda kısmında toplam değişkenliğin (SST) yer alması gerekir.

2

Belirtme katsayısını (

R^2

) hesapla.

R^2 = \frac{SSR}{SST} = \frac{120}{150} = 0,80

.

Belirtme katsayısı, açıklanan değişkenliğin toplam değişkenliğe oranıdır.

3

Hesaplanan değeri istatistiksel olarak yorumla.

Bağımlı değişkendeki (Y) varyansın

\%80

'i bağımsız değişken (X) ile açıklanmaktadır.

Belirtme katsayısı modelin açıklayıcılık gücünü yüzde cinsinden temsil eder.

Anahtar Kavram

Basit doğrusal regresyonda belirtme katsayısı (

R^2

), bağımlı değişkendeki toplam değişimin ne kadarının bağımsız değişken tarafından açıklandığını gösteren orandır.

Daha Fazla Pratik

Bağımsız değişken sayısı artırıldığında

R^2

ve düzeltilmiş

R^2

arasındaki farkın nasıl değişeceğini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Belirtme katsayısı aynı zamanda

R^2 = 1 - (SSE/SST)

formülüyle de hesaplanabilir. Bu soruda

1 - (30/150) = 1 - 0,20 = 0,80

sonucu bulunur.

Tahmini Süre:45s

Basit Doğrusal Regresyon Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm