x + y = \frac{5\pi}{6} olmak üzere, (\sin x - \cos y)^2 + (\cos x - \sin y)^2 ifadesinin d… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x + y = \frac{5\pi}{6}

olmak üzere,

(\sin x - \cos y)^2 + (\cos x - \sin y)^2

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

İfadenin doğru değeri 1'dir.

Parantez kareler açılıp

\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1

özdeşliği uygulandığında ifade

2 - 2(\sin x \cos y + \cos x \sin y)

şekline gelir. Bu ifade, sinüs toplam formülüyle

2 - 2\sin(x+y)

olarak yazılabilir.

x+y = 150^\circ

için

\sin(150^\circ) = 1/2

olduğundan doğru sonuç

2 - 2 \cdot (1/2) = 1

bulunur.

Verilen parantez kare ifadelerini açarak toplayalım.

(\sin^2 x - 2\sin x \cos y + \cos^2 y) + (\cos^2 x - 2\cos x \sin y + \sin^2 y)

Trigonometrik özdeşlikleri ve toplam formüllerini uygulayabilmek için öncelikle parantezleri açmamız gerekir.

Terimleri gruplandırarak aynı açıya ait temel trigonometrik özdeşliği (

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

) uygulayalım.

(\sin^2 x + \cos^2 x) + (\sin^2 y + \cos^2 y) - 2(\sin x \cos y + \cos x \sin y) = 2 - 2(\sin x \cos y + \cos x \sin y)

İfadeyi basitleştirmek için

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

\sin^2 y + \cos^2 y = 1

eşitliklerini kullanırız.

Parantez içindeki ifadeye sinüs toplam formülünü uygulayalım.

2 - 2\sin(x+y)

\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b

toplam formülünü kullanarak terimleri tek bir trigonometrik fonksiyon altında birleştiririz.

Soruda verilen

x + y = \frac{5\pi}{6}

değerini yerine yazıp sonucu hesaplayalım.

\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}

olduğundan, sonuç

2 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 2 - 1 = 1

bulunur.

Bilinen açı değerini sadeleşmiş ifadede yerine koyarak sayısal sonuca ulaşırız.

Toplam ve fark formülleri yardımıyla trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi ve ikinci bölgedeki açıların indirgenmesi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru