x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere, \frac{1 - \cos(2x)}{\sin(2x)} = 3 oldu… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)

olmak üzere,

\frac{1 - \cos(2x)}{\sin(2x)} = 3

olduğuna göre,

\cos(2x)

değeri kaçtır?

Cevap: -0.8

Sadeleştirme adımları ve yarım açı formülü uygulandığında doğru cevap -0.8 olarak bulunur.

İfadenin payındaki

1 - \cos(2x)

terimi

2\sin^2 x

şeklinde, paydasındaki

\sin(2x)

terimi ise

2\sin x \cos x

şeklinde yazıldığında oran

\tan x = 3

olarak sadeleşir.

x

açısının üçüncü bölgede olmasıyla uyumlu olarak

\tan x

pozitiftir. Bu açı değerine göre

\cos^2 x = 0.1

\sin^2 x = 0.9

bulunur. Kosinüs yarım açı formülü olan

\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x

ifadesinden aranan değer

-0.8

olarak bulunur.

Trigonometrik ifadeyi yarım açı özdeşliklerini kullanarak sadeleştirin.

\tan x = 3

\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x

\sin(2x) = 2\sin x \cos x

formülleri yerine yazıldığında pay

2\sin^2 x

ve payda

2\sin x \cos x

olur. Oranlandığında

\tan x = 3

elde edilir.

Dik üçgen bağıntısı ve bölge analizini kullanarak trigonometrik değerlerin karelerini belirleyin.

\sin^2 x = 0.9

\cos^2 x = 0.1

\tan x = 3

bağıntısına uygun dik üçgende hipotenüs

\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}

olur. Buradan

\sin^2 x = \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{9}{10}

\cos^2 x = \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{1}{10}

bulunur.

Kosinüs yarım açı formülüyle

\cos(2x)

değerini hesaplayın.

\cos(2x) = -0.8

\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x

formülünden

\frac{1}{10} - \frac{9}{10} = -0.8

elde edilir.

Kosinüs ve sinüs fonksiyonları için yarım açı formüllerinin uygulanması ve sadeleştirme.

Soru