Examkin

Soru

Zorluk: ZorToplam ve Fark Formülleri
Analitik düzlemde,
d1:3x−4y+12=0d_1: 3x - 4y + 12 = 0
d2:5x+12y−20=0d_2: 5x + 12y - 20 = 0
doğruları veriliyor.

Buna göre, bu iki doğru arasında kalan dar açının kosinüsü kaçtır?

  1. A
    1665\frac{16}{65}
  2. B
    5665\frac{56}{65}
  3. 3365\frac{33}{65}Cevap
  4. D
    6365\frac{63}{65}
  5. E
    4865\frac{48}{65}

Cevap

Doğruların eğimlerinden tanjant fark formülü yardımıyla aralarındaki dar açının tanjantı 56/33 bulunur. Buradan dik üçgen çizilerek dar açının kosinüsü 33/65 olarak hesaplanır.
Doğru cevap olan 33/65 değeri, doğruların eğimlerinden (3/4 ve -5/12) hareketle tanjant fark formülü kullanılarak aralarındaki dar açının tanjantının 56/33 olarak bulunması ve bu değerin bir dik üçgene aktarılarak kosinüsünün hesaplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Doğruların denklemlerinden eğimlerini belirleyin.
d1d_1 doğrusunun eğimi m1=34m_1 = \frac{3}{4} ve d2d_2 doğrusunun eğimi m2=−512m_2 = -\frac{5}{12} olarak bulunur.
İki doğru arasındaki açıyı bulmak için bu doğruların eğimlerini kullanacağız.
2
İki doğru arasındaki dar açıyı θ\theta kabul ederek, eğimler yardımıyla tan⁡θ\tan\theta değerini hesaplayın.
tan⁡θ=∣m1−m21+m1⋅m2∣=∣34−(−512)1+34⋅(−512)∣=∣912+5121−1548∣=∣14123348∣=76⋅1611=5633\tan\theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} \right| = \left| \frac{\frac{3}{4} - \left(-\frac{5}{12}\right)}{1 + \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{5}{12}\right)} \right| = \left| \frac{\frac{9}{12} + \frac{5}{12}}{1 - \frac{15}{48}} \right| = \left| \frac{\frac{14}{12}}{\frac{33}{48}} \right| = \frac{7}{6} \cdot \frac{16}{11} = \frac{56}{33} elde edilir.
İki doğru arasındaki açının tanjant formülü tan⁡θ=∣m1−m21+m1m2∣\tan\theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| şeklindedir.
3
Tanjant değeri bilinen dar açının kosinüs değerini dik üçgen çizerek hesaplayın.
Bir dik üçgende karşı dik kenar 5656, komşu dik kenar 3333 birim olarak alınırsa, hipotenüs uzunluğu: 332+562=1089+3136=4225=65\sqrt{33^2 + 56^2} = \sqrt{1089 + 3136} = \sqrt{4225} = 65 birim olur. Buradan dar açının kosinüsü: cos⁡θ=Koms¸uHipotenu¨s=3365\cos\theta = \frac{\text{Komşu}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{33}{65} olarak bulunur.
Tanjant değerinden kosinüs değerine geçiş yapmak için dik üçgen bağıntıları kullanılır.

Anahtar Kavram

İki doğru arasındaki açının tanjantı ve toplam-fark formülleri yardımıyla trigonometrik oranların hesaplanması.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Toplam ve Fark Formülleri

Bu konudan daha fazla soru