Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜstel ve Logaritmik Denklemler
log⁡x4+log⁡2x=3\log_x 4 + \log_2 x = 3

denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı 8'dir.

Cevap: Cevap

Cevap

Doğru (Köklerin çarpımı 8'dir)
Verilen denklem taban değiştirme ve değişken değiştirme yöntemleriyle çözüldüğünde kökler x=2x = 2 ve x=4x = 4 olarak bulunur. Her iki değer de logaritmanın tanım kümesi şartlarını sağladığından denklemin çözüm kümesi {2,4}\{2, 4\} olur. Bu köklerin çarpımı 2⋅4=82 \cdot 4 = 8 olduğundan, ifadenin doğru olduğu bilgisi doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemdeki logaritma terimlerinin tabanlarını eşitlemek için taban değiştirme özelliği uygulanır.
log⁡x4=log⁡24log⁡2x=2log⁡2x\log_x 4 = \frac{\log_2 4}{\log_2 x} = \frac{2}{\log_2 x} elde edilir.
Farklı tabanlardaki logaritmik ifadeleri ortak bir tabana indirgeyerek denklem çözümünü kolaylaştırmak gerekir.
2
log⁡2x=t\log_2 x = t dönüşümü yapılarak denklem tek değişkene bağlı rasyonel bir denklem haline getirilir.
2t+t=3  ⟹  t2−3t+2=0\frac{2}{t} + t = 3 \implies t^2 - 3t + 2 = 0 denklemi elde edilir.
Değişken de��iştirme yöntemiyle logaritmik denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem formuna dönüştürmek amaçlanır.
3
Elde edilen ikinci dereceden denklem çarpanlarına ayrılarak tt değerleri bulunur.
(t−1)(t−2)=0  ⟹  t1=1 ve t2=2(t-1)(t-2) = 0 \implies t_1 = 1 \text{ ve } t_2 = 2 olarak bulunur.
İkinci dereceden denklemin köklerini saptamak için çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
4
Bulunan tt değerleri kullanılarak orijinal xx değişkeninin değerleri (x1x_1 ve x2x_2) hesaplanır ve tanımlılık kontrolü yapılır.
log⁡2x=1  ⟹  x1=21=2\log_2 x = 1 \implies x_1 = 2^1 = 2 ve log⁡2x=2  ⟹  x2=22=4\log_2 x = 2 \implies x_2 = 2^2 = 4 bulunur. Her iki değer de logaritmanın tanım kümesi şartlarını (x>0x > 0 ve x≠1x \neq 1) sağladığından çözüm kümesi {2,4}\{2, 4\}'tür.
Bulunan yardımcı değişkenlerin orijinal değişkene geri dönüştürülmesi ve bu değerlerin logaritma fonksiyonunun tanım kümesine uygunluğunun denetlenmesi gerekir.
5
Köklerin çarpımı hesaplanır.
x1⋅x2=2⋅4=8x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 4 = 8 bulunur.
Soruda verilen ifadenin doğruluğunu kontrol etmek amacıyla köklerin çarpım değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Logaritmik Denklemler ve Değişken Değiştirme Yöntemi
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Denklemler

Bu konudan daha fazla soru